Robust Optimization Approach For One Period Quadratic Option Hedging Problem Under The Uncertainty of Parameters In Incomplete Market

Year 2012, Volume: 9 Issue: 2, 65 - 76, 15.08.2012

Gültaç Eroğlu İnan Ayşen Apaydın Mustafa Ç. Pınar

Abstract

In this study, first the quadratic hedging problem for one period is considered in an incomplete market. Optimal solution of the problem obtained by Föllmer-Schweizer (1989) is given. Next, the optimal solution of the problem is obtained by the authors with a stochastic model proposed by Pınar (2006). Some special calculations obtained in the same study were included. In another stage, the robust optimization approach, which is suggested in the related work is discussed for the situation where the model parameters are subject to uncertainty. In the last stage, an application of this approach is included for the situation where only the volatility is unknown. Numerical results show that classical solution obtained for the situation when volatility is known and the solution obtained under the uncertainty situation give similar values at the objective function. As a result, we can say that, the solution obtained under the uncertainty situation is robust to volatility variation.

Keywords

Uncertainty, Robust optimization, Quadratic option hedging

Tamam Olmayan Piyasada Tek Periyot Karesel Riskten Koruma Probleminde Parametrelerin Belirsizliği Altında Dayanıklı Optimizasyon Yaklaşımı

Abstract

Bu çalışmada, öncelikle tamam olmayan piyasada tek periyot için karesel riskten korunma problemi ele alındı. Problemin Föllmer-Schweizer (1989) tarafından elde edilen optimal çözümü verildi. Sonrasında, varlık fiyatı için Pınar (2006) tarafından önerilen bir stokastik model ile yazarlar tarafından problemin optimal çözümü elde edildi. Yine aynı çalışmada elde edilen bazı özel hesaplamalara yer verildi. Bir diğer aşamada, model parametrelerinin belirsizlik gösterdiği durum için, ilgili çalışmada önerilen dayanıklı optimizasyon yaklaşımı ele alındı. Son aşamada, sadece oynaklığın bilinmediği durum için bu yaklaşımın bir uygulamasına yer verildi. Sayısal sonuçlar, oynaklığın bilindiği durumda elde edilen klasik çözüm ile belirsizlik durumunda elde edilen çözümün, amaç fonksiyonuna yakın değerler verdiğini göstermiştir. Sonuç olarak, belirsizlik durumunda elde edilen çözümün, oynaklık değişimine karşı dayanıklı olduğunu söyleyebiliriz.

Keywords

Belirsizlik, Dayanıklı optimizasyon, Karesel riskten korunma

References

• Ahn, H., Muni, A., Swindle, G., 1997. Misspecified Asset Price Models and Robust Hedging Strategies, Applied Mathematical Finance Vol. 4, 21 -36.
• Ahn, H., Muni, A., Swindle, G., 1999. Optimal Hedging Strategies for Misspecified Asset Price Models, Applied Mathematical Finance, Vol.6, 197-208.
• Avellaneda, M., Levy., A., Paras, A., 1995. Pricing and Hedging Derivative Securities in Markets with Uncertain Volatilities, Applied Mathematical Finance, Vol. 2,73-88.
• Alpan, F., 1999. Örneklerle Futures Anlaşmalar ve Opsiyonlar. Literatür Yayınları, İstanbul.
• Ben-Tal, A., El Ghaoui, L., Nemirovski, A., 2009. Robust Optimization, Princeton University Press, USA.
• Coleman, T. F., Li, Y., Patron, M. C., 2003. Discrete Hedging Under Piecewise Linear Risk Minimization, Journal of Risk, Vol. 5, 39-65.
• Dem'yanov, V. F., Malozemov, V. N., 1990. Inroduction to Minimax. Dover Publications, New York.
• Föllmer, B. Y., Schweizer, M., 1989. Hedging by Sequential Regression: An Introduction to the Mathematics of Option Trading, ASTIN Bulletin, Vol.18, No.2; 147-160.
• Pınar, M. Ç., 2006. On Robust Quadratic Hedging of Contingent Claims in Incomplete Markets Under Ambiguous Uncertainty. Presented at the First Conference on Advanced Mathematical Methods in Finance (Bilkent University 2006-Princeton University 2008).
• Schweizer, M., 2001. Variance-optimal Hedging in Discrete Time. Mathematics of Operation Research, Vol. 20, 1-32.
• Winkler R. L., Roodman G., Britney, R., 1972. The Determination of Partial Moments, Management Science, Vol. 19, No. 3, 290-296.