TY  - JOUR
T1  - How Do Students Prove Their Learning and Teachers Their Teaching? Do Teachers Make a Difference?
TT  - Öğrenciler Öğrendiklerini Öğretmenler Öğrettiklerini Nasıl Kanıtlar? : Öğretmen Bir Fark Yaratır mı?
AU  - Tanıslı, Dilek
PY  - 2016
DA  - December
JF  - Eurasian Journal of Educational Research
PB  - Özer DAŞCAN
WT  - DergiPark
SN  - 1302-597X
SP  - 47
EP  - 70
VL  - 16
IS  - 66
LA  - en
AB  - Problem Statement: Gaining reasoning skills in earlyyears affects the formal proving skills in the following years, thus it isquite significant. The acquiring of this skill is only possible with theapproaches that the teachers used in the process. At this point, the problem tobe researched in terms of making proofs is seen in how middle school studentsprove a mathematical expression; what kinds of reasoning and proof types theyuse in this process; how the teachers of these students prove the sameexpression; and how they reflect it to their instruction.Purpose of the Study: The purposeof this study is to investigate the middle school students’ and their teachers’reasoning types and proof methods while proving a mathematical expression.Method: A basicqualitative research design was conducted to investigate the research problems.Participants in this study were two middle school mathematics teachers who havedifferent professional experiences, and 18 students from 6th, 7thand 8th grades. A clinical interview technique was used to collectdata and the interviews were video recorded. A thematic analysis method wasused to analyze the data.Findings andResults: The middle school students tried todecide on the argument by following specific cases in order to verify amathematical expression, and in this context they performed several actions,such as pattern recognition, seeking the relationship between two variables,and making conjectures. They have performed three types of actions, namelyverification, explanation and abstraction during the proving of a mathematicalexpression. Moreover, they have provided some arguments which were not acceptedas proof, by offering experimental, intuitive or illogical justification. Onthe other hand, it has been observed that the middle school mathematic teachersthought in the same way that their students thought while proving a givenmathematical expression.Discussion,Conclusion and Recommendations: As a result of this study, it has been found that studentshad difficulties in proving mathematical statements; they preferred to useexperimental proofs and mostly adapted an inductive approach. On the otherhand, the proving tendency of the teachers was mostly at a verification andexplanation level; they have a similar structure of thinking with theirstudents in the process of proving mathematical expressions. Reasoning and proofshould be the fundamental aspects of mathematics teaching, should play asignificant role in mathematical contents without taking it independently, and shouldbe developed in the earlier years. In addition, to what extent mathematicstextbooks and mathematics curriculum in each grade level support the reasoningand proof standards should be investigated.
KW  - Mathematics education; generalization; making conjecture; reasoning and proof.
N2  - Problem Durumu: Erken yaşlardan itibaren muhakeme becerisinin kazanımıdaha sonraki yıllarda formel anlamda kanıt yapma becerisini etkileyeceğindenoldukça önemlidir. Bu becerinin kazanımı süreçte ancak öğretmenlerinkullandıkları yaklaşımlar ile mümkündür. Öğretmenlerin kanıt yapmak içingerekli olan matematiksel bir iddiayı doğrulama ya da çürütme sürecindeyapılması gerekenleri hazır olarak sunmak ve bir başka durumda öğrencilerden debenzer mantığı uygulamalarını beklemek yerine öğrencilerin düşünme becerilerinigeliştirecek, nasıl ve nedenin sorgulandığı, tartışıldığı zengin ortamlarhazırlamaları gereklidir. Bu noktada Türkiye’de öğretim programlarının yenidenyapılanması ile birlikte, ortaöğretim öncesi öğrencilerinin kanıt yapmabağlamında, matematiksel bir ifadeyi nasıl kanıtladıkları, bu süreçte hangimuhakeme ve kanıt türlerini kullandıkları, bu öğrencilerin öğretmenlerinin deaynı ifadeyi nasıl kanıtladıkları ve öğretimlerine nasıl yansıttıklarıaraştırılması gereken bir problem olarak görülmektedir.Araştırmanın Amacı: Bu araştırmanın amacı, ortaokulöğrencilerinin ve öğretmenlerinin verilen matematiksel ifadelere ilişkinmuhakeme etme ve kanıtlama süreçlerini belirlemektir.  Araştırmanın, ortaokul düzeyinde öğrencilerinve öğretmenlerinin kanıt yapma bağlamında matematiksel bir ifadeyi nasılkanıtladıklarına, bu süreçte öğrencilerin yaşadıkları zorluklara aynı zamandaöğretmenlerin ve öğrencilerin muhakeme etme ve kanıtlama süreçleri aralarındakiilişkiyi belirleyerek öğretmenlerin de bu süreçteki rollerine dikkat çekmeaçısından önemli olduğu söylenebilir. Araştırmanın Yöntemi: Bu çalışmada temel nitel araştırmayaklaşımı benimsenmiştir. Çalışmanın katılımcılarını farklı mesleki deneyimleresahip 2 ortaokul matematik öğretmeni ile bu öğretmenlerin 6., 7., 8. sınıfınadevam eden ve her sınıftan üç öğrenci olmak üzere toplam 18 öğrencidenoluşturmaktadır. Zengin bilgiye sahip olduğu düşünülen durumlar üzerindeçalışma olanağı verdiğinden, bu çalışmada amaçlı örnekleme yöntemiçeşitlerinden ‘ölçüt örnekleme’ kullanılmıştır. Öğretmenlerin çalışma süreleri(5 yıl ile 30 yıl), öğrencilerin başarı düzeyleri(yüksek, orta, düşük) örneklemölçütü olarak belirlenmiş, gönüllülük esas alınmıştır. Araştırmaverilerinin toplanmasında nitel araştırma yöntemlerinden biri olan klinikgörüşme tekniği kullanılmış ve görüşmeler video kameraya çekilmiştir. Verilerinanalizinde tematik analiz yöntemi kullanılmıştır. Verilerin analizi yapılırkenöncelikle başlangıç kodları iki alan uzmanı tarafından bağımsız şekildebelirlenmiş ve araştırmacılar bir araya gelerek belirlenen kodlarıkarşılaştırmıştır. Kodlar konusunda görüş birliğine varıldıktan sonra temalarınoluşturulması için araştırmacılar yeniden önce bağımsız sonra birlikteçalışarak temaların da tutarlı olmasını sağlamışlardır. Kodlar ve temalarınoluşturulması sürecinde iki araştırmacı arasında görüş birliğine varılarak anatemalar ve alt temalar belirlenmiştir. Daha sonra ayrıntılı bir biçimdetanımlanan ve adlandırılan tema ve alt temalar yorumlanmıştır.Araştırmanın Bulguları: Araştırmadaortaokul öğrencileri matematiksel bir ifadeyi doğrularken belli sayıdakiadımlardan hareketle iddia hakkında karar vermeye çalışmışlar ve bu bağlamdaörüntü tanımlama, iki değişken arasındaki ilişkiyi arama ve varsayımda bulunmaşeklinde eylemler gerçekleştirmişlerdir. Verilen matematiksel ifadelerigenelleme sürecinde ise henüz kanıtlanmamış aritmetiksel, sözel, görsel,cebirsel çeşitli varsayımlarda bulunmuşlardır. Varsayımda bulunurken verilenönermelerin doğru olabileceğini tahmin ederek, iddialarını örnek verme ve testetme, özellikle geometride kavramı temsil eden en fazla örnek olma özelliğinesahip prototip şekle dayalı olarak, deneme/yanılma, oran/orantı ve formüle etmegibi çeşitli eylemlerle göstermeye çalışmışlardır. Bu süreçte öğrencilertümevarım, analojik, geri çıkarım muhakeme türlerini kullanmışlardır. Yanı sırabazı öğrencilerin de hatalı ya da öğretmen, ders kitabı gibi bir otoriteyireferans göstererek muhakeme yoluna gittikleri gözlenmiştir. Matematiksel birifadenin kanıtlanması sürecinde ise öğrenciler doğrulama, açıklama ve soyutlamaolmak üzere üç eylem gerçekleştirmişler yanı sıra deneysel,  sezgisel ya da mantıklı olmayan gerekçelersunarak kanıt kapsamına alınmayan argümanlar oluşturmuşlardır. Kanıtlamasırasında genel olarak da orta ve yüksek başarı düzeyine sahip öğrencileröncelikle bir önermenin doğruluğunu aritmetik, cebirsel ve geometrik/görselolarak araştırmışlar daha sonra neden doğru olduğunu açıklayarak bu süreçtegenel olarak tümdengelim ve geri çıkarım muhakeme türlerini seçme ve kullanma eylemlerinigerçekleştirmişlerdir. Diğer taraftan matematiksel bir iddiayı kanıtlarkenortaokul öğrencilerinin kanıt olarak ele alınamayan argümanları da söz konusuolmuştur. Bu argümanlar deneysel, sezgisel ve mantıklı olmayan gerekçelerşeklinde ele alınmıştır. Tüm sınıf ve başarı düzeyinden öğrencilerin doğrulamave açıklama yaparken öncelikle ağırlıklı olarak örnek verme ya dadeneme/yanılma yoluna gittikleri, yanı sıra genel olarak düşük ve orta başarıdüzeyinden bazı öğrencilerin de doğrulama yaparken hatalı yol izlediklerigörülmüştür.  Özellikle tüm sınıfdüzeylerinde düşük başarı düzeyine sahip öğrenciler kanıtlama yaparken mantıklıolmayan gerekçeler sunmuşlar ve bu süreçte hatalı ya da bir otoriteyi referansgöstererek gerekçelerini savunmaya çalışmışlardır. Diğer taraftan ortaokulmatematik öğretmenlerinin verilen matematiksel bir ifadeyi doğrularkenöğrencileri ile benzer düşünme yapılarına sahip oldukları gözlenmiştir.Öğretmenler bu süreçte örüntü tanımlama, iki değişken arasındaki ilişkiyi aramave varsayımda bulunma şeklinde eylemler gerçekleştirmişlerdir. Verilen tümmatematiksel ifadeleri genelleme sürecinde her iki öğretmen tümdengelim biryaklaşımla cebirsel olarak matematiksel varsayımlarda bulunmuşlardır.Matematiksel bir ifadeyi kanıtlama sürecinde ise doğrulama, açıklama vesoyutlama olmak üzere üç eylem gerçekleştirmişler yanı sıra deneysel gerekçelersunarak kanıt kapsamına alınmayan argümanlar da oluşturmuşlardır. Kanıtlamasırasında iddiaların neden doğru olduğunu açıklayarak cebirsel, geometrik vegörsel kanıt türlerini seçerek ve tümdengelim bir yaklaşım kullanarak soyutlamayapmışlardır. Ancak öğretmenlerin de deneyimleri fark etmeksizin matematikselifadeleri doğrulama, açıklama ve soyutlama boyutunda istenilen düzeydeolmadıkları söylenebilir.Araştırmanın sonuçları ve öneriler: Araştırmasonucunda, öğrencilerin matematiksel bir iddiayı kanıtlarken zorlandıkları,süreçte deneysel kanıtları kullanmayı tercih ettikleri ve daha çok tümevarımyaklaşımını benimsedikleri görülmüştür. Diğer taraftan öğretmenlerin ise genelolarak kanıt yapma eğilimlerinin daha çok doğrulama ve açıklama düzeyinde yeraldığı ve matematiksel ifadeleri kanıtlama sürecinde öğrencileri ile benzerdüşünme yapılarına sahip oldukları belirlenmiştir. Sonuç olarak, öğrencilermatematiksel bir iddiayı kanıtlarken zorlanmakta, süreçte deneysel delilleri vedeneysel kanıtları kullanmayı tercih etmektedirler. Çünkü matematiksel birifadenin doğruluğunu örnek kullanarak göstermek onlar için geçerli bir kanıtanlamına gelmektedir. Bu durum öğretmenlerin kanıtın ne anlama geldiğini, kanıtyapma için neye gereksinim olduğunu bilmemelerinin bir sonucudur. Dolayısıylaöğretmenler kanıt yapabilmeye değil, var olan kanıtları öğretmeye eğilimlidir. Bu bağlamdaaraştırma sonuçlarına dayalı olarak şu öneriler getirilebilir. Önceliklemuhakeme ve kanıt matematik öğretiminin doğal akışı içine dâhil edilmelidir.Ayrı bir konu alanı olarak ele alınmadan matematiksel içeriğin merkezinekonulmalıdır. Aynı zamanda öğrencilere kanıt yapma etkinliklerinin her öğrenmealanında araç olarak kullanılabileceği vurgulanmalı, kanıtın amacının vematematik için öneminin altı çizilmelidir. Öğrencilerin çoğunlukla tümevarımmuhakemeyi kullanmaya eğilimli oldukları göz önüne alındığında ise, tümdengelimmuhakemeyi gerektiren etkinliklerle çalışmaları sağlanmalıdır. Öte yandandeneysel argümanlar hiçbir sınıf seviyesinde kanıt olarak kabul edilmemelidir.Öğretmenlerin birincil kaynaklarının ders kitapları ve öğretim programlarıolduğu dikkate alındığında yapılacak araştırmalar bağlamında her sınıf düzeyiiçin matematik ders kitaplarının ve öğretim programlarının muhakeme ve kanıtstandartlarını ne kadar desteklediği incelenebilir. 
CR  - Arslan, C. (2007). The development of elementary school students on their reasoning and proof ideas. Unpublished doctoral dissertation. Uludag University Graduate School of Social Sciences, Bursa.
CR  - Aylar, E. (2014). Examination of 7th grade students’ ability on proving and their perception of proving. Unpublished doctoral dissertation. Hacettepe University Graduate School of Educational, Ankara.
CR  - Ball, D.L., & Bass, H. (2003). Making mathematics reasonable in school. In J. Kilpatrick, W. G. Martin. & D. Schifter. (Eds.), A research companion to principles and standards for school mathematics (pp. 227-236). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
CR  - Becker, J. R. & Rivera, F. (2006). Sixth graders’ figural and numerical strategies for generalizing patterns in algebra. In S. Alatorre, J. L.
CR  - Cortina, M. Saiz, & A. Mendez (Eds.), Proceeding of The 28th annual meeting of The North American Chapter of the international group for the psychology of mathematics education (Vol. 2), (pp. 95-101). Merida, Mexico: Universidad Pedagogica Nacional.
CR  - Bergqvist, T., Lithner, J., & Sumpter, L. (2006). Upper middle students’ task reasoning. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31, 1495-1509.
CR  - Clement, J. (2000). Analysis of clinical interviews: Foundations and model viability. In A. E. Kelly,  & R. A. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education (pp. 547-589). London: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers.
CR  - Guler, G., & Ekmekci, S. (2016). Examination of the proof evaluation skills of the prospective mathematics teachers: the example of sum of successive odd numbers. Journal of Bayburt Education Faculty, 11 (1), 59-83.
CR  - Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students' proof schemes: results from exploratory studies. In A.H. Schoenfeld, J. Kaput, & E. Dubinsky (Eds.), Research in collegiate mathematics education (pp. 234 - 283). Providence, RI: American Mathematical Society.
CR  - Harel, G. (2001). The development of mathematical induction as a proof scheme: A model for DNR-based instruction. In S. Camhell & R. 
Zaskis (Eds.), Learning and teaching number theory (pp. 185-212). New Jersey, Ablex Publishing Corporation.
CR  - Iskenderoglu, T. A., & Baki, A. (2011). Quantitative analysis of pre-service elemantary mathematics teachers’ opinions about doing mathematical proof. Educational Sciences: Theory & Practice, 11(4), 2275-2290.
CR  - Jones, K. (2000). The student experience of mathematical proof at university level. International Journal of Mathematical Education in Scienceand Technology, 31(1), 53-60.
CR  - Knuth, E. J. (2002). Teachers’ conceptions of proof in the context of middle school mathematics. Journal of Mathematics Teachers Education, 5, 61 – 88.
CR  - Knuth, E.J., Slaughter, M., Chooppin, J., & Sutherland, J. (2002). Mapping the conceptual terrain of middle school students’ competencies in justifying and proving. In S. Mewborn, P. Sztajn, D. Y. White, H.G Wiegel, R. l. Bryant, & K. Nooney (Eds.), Prooceeding of the 24th Meeting for PME-NA  (pp. 1693-1700). Athens, GA.
CR  - Knuth, E., & Sutherland, J. (2004). Student understanding of generality. Proceedings of the twenty-sixth annual meeting of the North American Chapter of the international group for the psychology of mathematics education (pp. 561-567). Retrieved June 14, 2015, from http://labweb.education.wisc.edu/~knuth/mathproject/papers/Knuth_PMENA04.pdf.
CR  - Leighton, J. P. (2003). Defining and describing reasoning. In J. P. Leighton & R. J. Sternberg (Eds.), The nature of reasoning (pp. 3-11). New York, NY: Cambridge.
CR  - Liamputtong, P. (2009). Qualitative data analysis:  Conceptual and practical considerations. Pranee Liamputtong Health Promotion Journal of Australia, 20(2), 133-139.
CR  - Merriam, S. B. (2009). Qualitative research and case study applications in education. First ed-San Francisso: Jossey-Bass.
CR  - Miles, M. & Huberman, M. (1994). An expanded sourcebook qualitative data analysis (2nd ed.). California: Sage Publications.
CR  - Ministry of National Education (2013). Middle school mathematics 5-8. classes curriculum. Ankara.
National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2000). Principles and standards for school Mathematics. USA.
CR  - Reid, D. A., & Knipping, C. (2010). Proof in mathematics education research, learning and teaching. Sense Publishers: Rotterdam.
CR  - Rips, L. J. (1994). The psychology of proof: Deductive reasoning in human thinking. Cambridge, MA: MIT.
CR  - Stylianides, G. J.  (2010). Engaging secondary students in reasoning and proving. Mathematics Teaching, 219, 39-44.
CR  - Stylianides, G. J. & Stylianides, A. J. (2009). Facilitating the transition from empirical arguments to proof. Journal for Research in 
Mathematics Education, 40 (3), 314-352.
CR  - Stylianides, G. (2008). An analytic framework of reasoning-and-proving. For The Learning of Mathematics, 28, 9-16.
CR  - Stylianou, D. A., Blanton, M. L., & Rotou, O. (2015). Undergraduate students’ understanding of proof: Relationships between proof conceptions, beliefs and classroom experiences with learning proof. International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education, 1(1), 91-134.
CR  - Uygan, C., Tanisli, D., & Kose, N. Y. (2014). Research of pre-service elementary mathematics teachers’ beliefs in proof, proving processes and proof evaluation processes. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 5(2), 137-157.
CR  - Yildirim, A., & Simsek, H. (2011). Qualitative research methods in the social sciences. Ankara: Seckin Publisher.
CR  - Zaskis, R., & Liljedahil, P. (2002). Generalization of patterns: The tension between algebraic thinking and algebraic notation. Educational Studies in Mathematics, 49, 379-402.
UR  - https://dergipark.org.tr/en/pub/ejer/issue//510773
L1  - https://dergipark.org.tr/en/download/article-file/622807
ER  -