S bir sayısal yarıgrup olsun. S deki bir s elemanın katener derecesi, s 'nin çarpanlara ayırmaları arasındaki mesafeyi ölçmek için kullanılan negatif olmayan bir tamsayıdır. S sayısal yarıgurubunun katener derecesi, elemanlarının maksimum katener derecesinde elde edilir. S'nin maksimum katener derecesine, S'nin karmaşık özelliklere sahip Betti elemanları ile ulaşılır. S'nin Betti elemanları, S'nin tüm minimal gösterimlerinden elde edilebilir. S için bir gösterim, özel çarpan homomorfizminin çekirdek kongrüansının üreteçlerinden oluşan bir sistemdir. Eğer bir gösterim başka bir gösterime dönüştürülemiyorsa, yani onun herhangi bir öz alt kümesi bir gösterim değil ise, minimaldir. S'nin Delta kümesi, S'deki elemanlar için çarpanlarının uzunluklarının kümelerinin karmaşıklığını ölçen bir çarpan değişmezidir.Bu çalışmada, özel bir pseudo-simetrik sayısal yarı grup ailesinin yukarıdaki değişmezlerini onun üreteçleri açısından ifade edeceğiz.
Let S be a numerical semigroup. The catenary degree of an element s in S is a non-negative integer used to measure the distance between factorizations of s. The catenary degree of the numerical semigroup S is obtained at the maximum catenary degree of its elements. The maximum catenary degree of S is attained via Betti elements of S with complex properties. The Betti elements of S can be obtained from all minimal presentations of S. A presentation for S is a system of generators of the kernel congruence of the special factorization homomorphism. A presentation is minimal if it can not be converted to another presentation, that is, any of its proper subsets is no longer a presentation. The Delta set of S is a factorization invariant measuring the complexity of sets of the factorization lengths for the elements in S.In this study, we will mainly express the given above invariants of a special pseudo-symmetric numerical semigroup family in terms of its generators.