TY  - JOUR
T1  - Set theory interpretation for exponential approximation of time-ordered integral
TT  - Zaman-Sıralı integralin üstel fonksiyon yakınsaması için küme teorisi yorumu
AU  - Ceylan, Ali Mert
PY  - 2024
DA  - November
JF  - Pamukkale Üniversitesi Mühendislik Bilimleri Dergisi
PB  - Pamukkale Üniversitesi
WT  - DergiPark
SN  - 2147-5881
SP  - 785
EP  - 789
VL  - 30
IS  - 6
LA  - en
AB  - This introductory study suggests a formal basis for the interpretation ofa continuous path in a connected matrix Lie group to be represented bythe set of von Neumann ordinals which is a set-theoreticalinterpretation of natural numbers. In this study, it is aimed to relate thediscrete recurrent structure of von Neumann ordinals to the exponentialfunction. Since the Exponential function is fundamentally integratedinto science and engineering literature this work aims to discover tiesbetween the Exponential function and sets where, the Exponentialfunction utilized in machine learning, loss functions; cryptography, keyexchange and encryption algorithms; robotics, kinematics, trajectoryplanning; numerical analysis, discrete integration. Thus, the settheoretical interpretation of the exponential function has aninterdisciplinary critical role. Throughout the article, necessaryconjectures are postulated to interpret the rotations that form a smoothcurve in terms of sets, namely von Neumann ordinals. Introducedformalizations covering Set existence axiom, unit element for setgroups, interpretation of a smooth curve in terms of multiplication ofexponentials, introduced a derivative operator to observe limiteddifferentiable properties of the exponential function.
KW  - Discrete mathematics
KW  - Lie group
KW  - Von Neumann ordinals
KW  - Smooth curve
KW  - Exponential function
KW  - Derivative operator
KW  - Rotation
Group
KW  - Set theory
N2  - Bu giriş çalışması, bağlı matris Lie grubundaki sürekli bir yolun, doğalsayıların küme teorik bir yorumu olan von Neumann ordinali olankümeler ile temsil edilmesi için biçimsel bir temel önermektedir. Buçalışmada, von Neumann ordinallerinin ayrık tekrarlayan yapısınınüstel fonksiyon ile ilişkilendirilmesi amaçlanmıştır. Üstel fonksiyontemelde bilim ve mühendislik literatürüne entegre olduğundan buçalışma, makine öğrenimi, kayıp fonksiyonları; kriptografi, anahtardeğişimi ve şifreleme algoritmaları; robotik, kinematik, yörüngeplanlama; sayısal analiz, ayrık entegrasyon gibi alanlarda kullanılanÜstel fonksiyon ile kümeler arasındaki bağları keşfetmeyiamaçlamaktadır. Bu nedenle, üstel fonksiyonun küme teorik yorumudisiplinler arası kritik bir role sahiptir. Makale boyunca, düzgün bir eğrioluşturan rotasyonları kümeler, yani von Neumann ordinalleriaçısından yorumlamak için gerekli varsayımlar öne sürülmektedir.Küme varlığı aksiyomu, küme grupları için birim eleman, düzgün bireğrinin üstellerin çarpımı açısından yorumlanması, üstel fonksiyonunkısmen türevlenebilir özelliklerini gözlemlemek için bir türevoperatörünün tanımlanmasını kapsayan formalizasyonlar tanıtılmıştır.
CR  - [1] Çakır Ş, Kantarcı A. “Cellular automata and computer graphics”. Pamukkale University Journal of Engineering Sciences, 5(1), 927-931, 1999.
CR  - [2] Driessen JJM. “Random closed line on a 3D sphere”. https://tex.stackexchange.com/questions/496616/rand om-closed-line-on-a-3d-sphere (20.12.2021).
CR  - [3] Rudin W. Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed. New York, USA, McGraw-Hill, 1976.
CR  - [4] Tokmakoff A. “Time-Evolution Operator” https://chem.libretexts.org/@go/page/107223 (20.12.2021).
CR  - [5] Haber H. “The Time Evolution Operator As A TimeOrdered Exponential”. http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph215/TimeOrderedExp. pdf (20.05.2023).
CR  - [6] Goldrei DC. Classic Set Theory: For Guided Independent Study. 1st ed. New York, USA, Routledge, 2017.
CR  - [7] Stillwell J. Naive lie Theory. 1st ed. New York, USA, Springer Science & Business Media, 2008.
CR  - [8] Hall B. Lie Groups Lie algebras, and Representations: An Elementary Introduction. 2nd ed., New York, USA, Springer, 2015.
UR  - https://dergipark.org.tr/tr/pub/pajes/article/1591861
L1  - https://dergipark.org.tr/tr/download/article-file/4396244
ER  -