Frenet Diferansiyel Denklem Sisteminin Çözümleri İçin İntegral Gösterimleri

Rauf Amirov; Tuğba Mert

doi:10.17776/csj.68151

-

Yıl 2014, Cilt: 35 Sayı: 2, 11 - 32, 04.08.2014

Rauf Amirov Tuğba Mert

https://doi.org/10.17776/csj.68151

Öz

Author's email addresses.yardımıyla ¸c¨ oz¨ ulmektedir. Bu y¨uzden de, s¨oz konusu operat¨orlerin spektral karakteristiklerine g¨ore belirlenmesi probleminin ¸c¨ oz¨ ulmesi i¸cin ¨onem ta¸sımaktadır.Tanım 1.1 : Tanım b¨olgesi sonlu, katsayıları toplanabilir fonksiyonlar olan diferansiyel operat¨ore reg¨uler operat¨or, tanım b¨olgesi sonsuz veya katsayıları (bazılarıveya tamamı) toplanabilir olmayan diferansiyel operat¨ore sing¨uler operat¨or denir.˙Ikinci mertebeden reg¨uler operat¨orler i¸cin spektral teori g¨un¨um¨uzde Sturm-Liouvilleteorisi olarak bilinir. XIX. y¨uzyılın sonlarında ikinci mertebeden diferansiyel operat¨orler i¸cin sonlu aralıkta reg¨uler sınır ¸sartları sa˘glanacak ¸sekilde adi diferansiyeloperat¨orlerin da˘gılımı Birkof tarafından incelenmi¸stir. Diskret spektruma sahip veuzayın tamamında tanımlı operat¨orlerin ¨ozde˘gerlerinin da˘gılımı, ¨ozellikle Kuantummekani˘ginde ¸cok ¨onem ta¸sımaktadır. Birinci mertebeden iki denklemin reg¨uler sistemleri daha sonraki yıllarda ele alınmı¸stır. Sing¨uler operat¨orler i¸cin spektral teoriilk olarak Weyl tarafından incelenmi¸stir. Daha sonra Riestz, Neumann, Friedrichsve di˘ger matematik¸ciler tarafından simetrik ve self-adjoint operat¨orlerin genel spektral teorisi olu¸sturulmu¸stur. Simetrik operat¨orlerin t¨um self-adjoint geni¸slemelerininbulunması problemi Neumann tarafından bir s¨ure sonra yapılmı¸stır.˙Ikinci mertebeden sing¨uler operat¨orlerin spektral teorisine yeni bir yakla¸sımı 1946yılında Titchmarsh vermi¸stir. Do˘gru ekseninde tanımlı azalan (artan) potansiyelliL = −d dx + q (x)Sturm-Liouville operat¨orleri i¸cin ¨ozde˘gerlerin da˘gılımı form¨ul¨ u Titchmarsh tarafındanbulunmu¸sur. Son yıllarda bu operat¨ore bir boyutlu q (x) potansiyelli Schr¨odingerdenklemi de denir. Aynı zamanda bu ¸calı¸smada Schr¨odinger operat¨or¨ u i¸ cin ¨ozde˘gerlerinda˘ gılım form¨ul¨ ude verilmi¸stir.Sing¨uler diferansiyel operat¨orlerin incelenmesine ili¸skin ve diferansiyel operat¨orlerinspektral teorisinde ¨onemli bir yere sahip olan ¸calı¸smalar, 1949 yılında Levitan tarafındanyapılmı¸stır. Levitan bu ¸calı¸smalarında spektral teoriyi esaslandırmak i¸cin kendinehas bir y¨ontem vermi¸stir. Farklı sing¨uler durumlarda diferansiyel operat¨orlerin spektral teorisi, ¨ozellikle ¨ozde˘gerlerin, ¨ozfonksiyonların asimptoti˘gine ve ¨oz fonksiyonlarıntamlı˘gına ili¸skin konular Courant, Carleman, Birman, Salamyak, Maslov, Keldish vs.matematik¸ciler tarafından geli¸stirilmi¸stir.2. C ¸ EV˙IRME OPERAT ¨OR ¨ U VE ¨OZELL˙IKLER˙I2.1. ˙Integral Denklemin Olu¸sturulması   y (x) = iρκ (x) y(x) y (x) = iρκ (x)y (x) , λ = ρ, 0 < x < π(1) y (0) − hy(0) = 0y (π) + Hy(π) = 0(2) sınır-de˘ger problemini ele alalım. Burada κ (x) ,κ (x)∈ L [0, π] ve ∀ x ∈ [0, π]i¸ cin κ (x) = 0 dır. ˙Ilk ¨once y (x, ρ) =κ (x)U (x, ρ) ve y(x, ρ) =κ (x)V (x, ρ)(3) d¨ on¨ u¸s¨umleri yapılırsaU (x, ρ) + m (x) U (x, ρ) = iρV (x, ρ)V (x, ρ) − m (x) V (x, ρ) = iρU (x, ρ)(4) denklemler sistemi elde edilir. Burada m (x) =κ (x)2κ (x)dir. U (x, ρ) + m (x) U (x, ρ) = iρV (x, ρ)ise U (x, ρ) + m (x) − m(x) U (x, ρ) = −ρU (x, ρ)ve −U (x, ρ) + q (x) U (x, ρ) = λU (x, ρ)(5) elde edilir. Burada q (x) = m(x) − m (x) , λ = ρ, q (x) ∈ L[0, π] dir. B¨oyleceSturm-Liouville denklemi elde edilmi¸s olur. S¸imdi (5) denkleminin ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ u bu- lalım. q (x) = 0 i¸cin homojen kısmın ¸c¨ oz¨ um¨ u U (x, ρ) = ce iρx + c e −iρx¸seklindedir. Homojen olmayan kısmı ¸c¨ ozmek i¸cin sabitlerin de˘gi¸simi y¨ontemi kullanılırsaU (x, ρ) = c∗ e iρx + c ∗ e −iρx+ 2iρ − 2iρ ve buradan daU (x, ρ) = c∗ e iρx + c ∗ e −iρx+ x sin ρ (x − t)ρ q (t) U (t, ρ) dtelde edilir.V (0, ρ) = hκ (0) , U (0, ρ) = 1ve U (0, ρ) = iρhκ (0) −κ (0)2κ (0)

Anahtar Kelimeler

Transformation operator, Integral equaiton, Sturm-Liouville.

Kaynakça

Marchenko, V.A.,Sturm-Liouville Operators and their Applications, Kiev: Naukova Dumka, 1977, (Endl. Transl. 1986 (Basel: Birkhauser)).
Freiling, G. and Yurko, V.A., Inverse problems for differential equations with turning points, Inverse Problems, 13 (1997), 1247-1263.
Freiling G. and Yurko A.A.,Inverse spectral problems for differential equations on the half-line with turning points, J. Diff. Equations, 154 (1999), 419-453.
Yurko, V.A., Inverse Spectral Problems for Differential Operators and their Applications, New York: Gordon & Breach, 1999.
Yurko, V.A., On higher-order differential operators with a singular point, Inverse problems, 9 (1993), 495-502.
Freiling, G. And Yurko, V.A.,On constructing differential equations with singularities from incomplete spectral information, Inverse Problems 14 81998), 1131-1150. Freiling, G. And Yurko, V.A.,Reconstructing parameters of a medium from incomplete spectral information, Result in Matematics 35 (1999), 228-249.
Yurko, V.A., Inverse problem for differential equations with a singularity, Differ. Uravreniya 28 (1992), no. 8, 1355-1362 (in Russian); English transl. ˙In Differ. Equations 28 (1992),1100-1107.
Bellman, R. and Cook, K., Differential-difference Equations, Academic Press, New York,1963.
Convay, J.B., Functions of One Complex Variable, 2nd ed., vol. I, Springer-Verlag, New York,1995.
Levitan, B.M., Inverse Sturm-Liouville Problems, Moscow: Nauka, 1984, (Engl. Transl.1987 (Utrecth: VNU Science Press)).