Fonksiyon kavramı: epistemolojisi, algı türleri ve zihinsel gelişimi

Öz

Fonksiyon kavramı matematik ders programları içerisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. İlköğretimden üniversiteye kadar matematik ders programlarında bu kavrama rastlamak mümkündür. İlköğretim düzeyinde toplama gibi temel aritmetiksel işlemlerin fonksiyon düşüncesini içerdiği söylenebilir; çünkü toplam operatörü IR’den aldığı iki elemanı işleme tabi tuttuktan sonra yine IR’de bir elemana eşlemektedir. Benzer şeki lde simetri kavramı fonksiyon düşüncesini içermektedir; çünkü simetri ekseni bir fonksiyon gibi dönüştürme yapar ve bir bölgedeki nesneyi bir başka bölgeye transfer eder. Ortaöğretim düzeyinde fonksiyonlar özel bir konu olarak okutulmakta ve fonksiyon kavr amı ‘iki kümenin elemanları arasında eşleme yapan bir bağıntı’, ‘Kartezyen çarpımın bir alt kümesi’, ve ‘iki değişken arasındaki ilişki’ biçiminde farklı şekillerde tanımlanmaktadır. İleri düzey matematik konuları olan integral ve türev kavramlarının öğret imi tamamen fonksiyonlar üzerinde bina edilmiş bulunmaktadır. Topolojik uzayların homeomorfik yapılarının incelenmesinde de fonksiyon düşüncesi aktif olarak kullanılmaktadır. Diğer birçok matematiksel düşünceyle olan yakın ilişkisi dolayısıyla fonksiyon ka vramının matematik öğretiminde birleştirici bir düşünce tarzı olarak kullanılması önerilmektedir. Alan yazın taramasından oluşan bu makalenin amacı fonksiyon kavramının epistemolojisi, günümüz modern matematik ders kitaplarında yer aldığı şekliyle kavramın matematiksel doğası ve algı türlerinin incelenmesini içermektedir. Bunun yanı sıra, eldeki makalede fonksiyon kavramının zihinsel gelişimi ve bu süreçte öğrencilerin yaşadıkları zorluklar, kavram yanılgıları ve bunların bilişsel sebepleri öğrenme teoriler i ışığında tartışılmaktadır. Son olarak ise, olayın öğretim boyutuna değinilmekte ve sınıf içi öğretimler için pedagojiksel öneriler getirilmektedir.

Anahtar Kelimeler

• Fonksiyon kavramı, epistemolojisi, zihinsel gelişimi, kavram yanılgıları, pedagojiksel öneriler

Epistemology and cognitive development of the function concept

Öz

The concept of function is considered the most crucial idea in mathematics curricula. It appears in the mathematics curricula from elementary level to undergradu ate studies. For instance, basic operations, such as addition, involve the idea of function because they transform elements from IR×IR to IR. The notion of symmetry captures the very essence of the concept; since symmetry line operates as a function transf orming (reflecting) entities from one region to another. At the high school level functions are studied within a topic in its own right; it is introduced as a correspondence between the elements of two sets, as a sub - set of a Cartesian product, and as a de pendence between two varying quantities. Within a calculus course the concept of derivative and integral takes a function as an argument. At the undergraduate level functions are used to compare abstract mathematical structures; for instance, to illustrate whether or not topologies are homeomorphic. Due to its crucial role and prevailing feature within the mathematics curricula educators suggest that the function concept should be used as a unifying theme in teaching and learning mathematics. This paper aim s to provide an extensive literature reviews about the epistemology of the function concept and the cognitive development of this notion. The paper discusses with reference to contemporary learning theories the misconceptions and their sources that the stu dents could develop while learning the functions. In addition, it provides pedagogical suggestion for classroom teachings.

Anahtar Kelimeler

• The function concept, epistemology, cognitive development, misconceptions, teaching suggestions

Kaynakça

1. Boyer, C., A History of Mathematics. Wiley, New York, 1968.
2. Breidenbach, D., Dubinsky, Ed., Hawks, J., & Nichols, D., Development of the Process Conception of Function. Educational Studies in Mathematics, 23(3), 247-285, 1992.
3. DeMarois, P., Tall, D. O., Function: Organising Principle or Cognitive Root. Proceedings of 23rd Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 2, s. 257-264, Haifa, Israel, 1999.
4. Dubinsky, Ed., Harel, G., The Nature of the Process Conception of Function. In G. Harel, & Ed. Dubinsky (Eds.), The Concept of Function: Aspects of Epistemology and Pedagogy, s. 85-104, Mathematical Association of America, United States of America, 1992. 5. Eisenberg, T., Function and Associated Learning Difficulties. In D. O. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking, s. 140-152, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991.
5. Gray, E., & Tall, D., Duality, Ambiguity and Flexibility: A proceptual view of simple arithmetic. Journal of Research in Mathematics Education, 25(2), 115-141, 1994.
6. Heibert, J., Lefevre, P., Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics. Lawrence Erlbaum Associates Inc, New Jersey, 1986.
7. Heibert, J., Carpenter, T. P., Fennema, E., Fuson, K. C., Wearne, D., Murray, H., Oliver, A., & Human, P., A Day in the Life of a Conceptually Based Instruction Classroom. In L. Paeke, (Ed.), Making Sense: Teaching and Learning Mathematics with Understanding, s. 101-114, Heinemann, Greenwood, 1997.
8. Kleiner, I., Evolution of the Function Concept: A Brief Survey. The College Mathematics Journal, 20(4), 282-300, 1989.

9. Malik, M. A., Historical and Pedagogical Aspects of the Definition Mathematics Education in Science and Technology, 1(4), 489-492, 1980. International Journal of
10. Markovits, R., Eylon, B. S., Brukheimer, M., Functions Today and Yesterday. For the Learning of Mathematics, 6(2), 18-28, 1986.
11. NCTM, Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston, VA: Author, 1989.
12. O'Callaghan, B. R., Computer-Intensive Algebra and
13. Students’ Conceptual Knowledge of Functions. Journal
14. for Research in Mathematics Education, 29(1), 21-40, 1998.
15. Ponte, J. P., The History of the Concept of Function and Some Educational Implications. The Mathematics Educator, 3(2), 3-8, 1992.
16. Selden, A., Selden, J., Research Perspectives on Conceptions of Functions: Summary and Overview. In G. Harel ve Ed. Dubinsky (Eds.), The Concept of Function Aspects of Epistemology and Pedagogy, s. 1-16, Mathematical Association of America, United States of America, 1992.
17. Sfard, A., Operational Origins of Mathematical Objects and the Quandary of Reification-The Case of Function. In G. Harel, & Ed. Dubinsky (Eds.), The Concept of Function Aspects of Epistemology and Pedagogy, s. 59- 85, Mathematical Association of America, United States of America, 1992.
18. Smart, T., Visualising Quadratic Functions: A Study of Thirteen-year-old Girls Learning Mathematics with Graphic Calculators. In L. Meira, & D. Carraher (Eds.), Proceeding of the 19th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 2, 272-279, Atual Editora Ltda, Brazil, 1995.
19. Tall, D.,& Vinner, S., Concept Image and Concept Definition in Mathematics with Particular Reference to Limits Mathematics, 12, 151-169, 1981. Educational Studies in
20. Thompson, P. W., Students, Functions, and the Undergraduate Curriculum. In Ed. Dubinsky, A. Schoenfeld, & J. Kaput (Eds.), Research in Collegiate Mathematics Education, I, CBMS Issues in Mathematics Education, 4, 21-44, 1994.
21. Vinner, S., Concept Definition, Concept Image and the
22. Notion of Function. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 14(3), 293-305, 1983