Zamana Bağlı Öz-Eşlenik Operatörlü Yerel Olmayan Schrödinger Problemi

Abstract

Bu makalede, zamana bağlı öz-eşlenik operatörlü Schrödinger denklemi için keyfi bir Hilbert uzayında yerel olmayan sınır değer problemi incelenmiştir. Bu problemin çözümü için kararlılık kestirimleri oluşturulmuştur. Yerel olmayan sınır değer probleminin zamana bağlı öz-eşlenik operatörlü Schrödinger denkleminin yaklaşık çözümünü bulmak için birinci doğruluk dereceli Rothe fark şeması ve ikinci doğruluk dereceli Crank-Nicholson fark şeması oluşturulmuştur. Bu fark şemalarının kararlılık kestirimleri elde edilmiştir. Kararlılık kestirimlerini elde edebilmek için öz eşlenik operatörlerin spektral temsil teorisi kullanılmıştır. Teoriyi desteklemek için bir tane uzay değişkeninde bir boyutlu, zamana göre lokal olmayan, zamana bağlı özeşlenik operatörlü Schrödinger problemi için sayısal bir örnek verilmiştir. Fark şemalarının çözümünü bulmak için modife edilmiş Gauss eleme metodu kullanılmıştır.

Keywords

• Modife edilmiş Gauss eleme yöntemi
• Öz-eşlenik operatör
• Kararlılık

Nonlocal Schrödinger Problem with Time Dependent Self-Adjoint Operator

Abstract

In this paper, in an arbitrary Hilbert space nonlocal boundary value problem for the Schrödinger equation with time dependent self-adjoint operator is studied. Stability estimates for the solution of this problem is established. To find an approximate solution of nonlocal boundary value problem for the Schrödinger equation with time dependent self-adjoint operator first order of accuracy Rothe difference scheme and second order of accuracy Crank-Nicholson difference scheme are constructed. Stability estimates of these difference schemes have been obtained. To obtain stability estimates, the theory of spectral representation of self-adjoint operator is used. In order to support theory, one dimensional in space variable, nonlocal in time variable and with a time dependent self-adjoint operator a numerical example for the Schrödinger problem is given. A modified Gauss elimination method is used to solve the difference schemes.

Keywords

• Modified Gauss elimination method
• Self-adjoint operator
• Stability

References

1. An D., Fang D., and Lin L., Time-Dependent Unbounded Hamiltonian Simulation with Vector Norm Scaling, Quantum 5, 459 (2021), 49 pages. Doi:10.22331/q-2021-05-26-459.
2. Berry D. W., Childs A. M., Su Y., Wang X., and Wiebe N., Time-Dependent Hamiltonian Simulation with L^1-Norm Scaling, Quantum 4, 254 (2020), 40 pages. arXiv: 1906.07115v2 [quant-ph].
3. Mizrahi S. S., Moussa M. H. Y., and Baseia B., The Quadratic Time-Dependent Hamiltonian: Evolution Operator, Squeezing and Trajectories, International Journal of Modern Physics B, 8 11&12 (1994), 1563-1576.
4. Prvanovic S., Operator of Time and Generalized Schrödinger Equation, Advances in mathematical Physics, (2018) Article ID: 6290982, 4 pages. Doi:10.1155/2018/6290982.
5. Ashyralyev, A., and Sirma, A., Nonlocal Boundary Value Problems for the Schrödinger Equation, Computer and Mathematics with Applications (2008) 55; 392-407.