Some Inequalities for Positive Linear Maps of Operators

Year 2017, Volume: 7 Issue: 2, 133 - 140, 04.01.2018

İbrahim Halil Gümüş Xiaohui Fu

Abstract

Drawing
inspiration from Lin [3], we generalize some operator inequalities due to Mond
et al. [1] as follows: Let A be
positive operator on a Hilbert space with 0<m≤A≤M. Then for 2<p<∞ and every normalized positive linear map Φ,

Φ^{p}(A²)≤((((M²+m²)^{p})/(4M^{p}m^{p})))²Φ(A)^{2p}.

Let A be positive operator on a Hilbert space with 0<m≤A≤M. Then for 1≤p<∞ and every normalized positive linear map Φ,

Φ^{p}(A⁻²)≤((1/(4(Mm)^{p}))(M+m+(((M-m)²)/(4(M+m))))^{2p})²Φ(A)^{-2p}.

Keywords

Positive Operators, Operator Inequalities, Normalized Positive Linear Maps

Operatörlerin Pozitif Lineer Dönüşümleri için Bazı Eşitsizlikler

Abstract

Lin’in
[3] teki çalışmasından ilham
alarak, Mond ve Pecaric’in [1] deki çalışmasında verilen bazı operatör
eşitsizliklerinin genelleştirilmesi şu şekilde yapıldı: A, Hilbert
uzayı üzerinde 0<m≤A≤M şartını
sağlayan bir pozitif operatör olmak üzere, 2<p<∞ ve her
normalize edilmiş Φ pozitif lineer
dönüşümü için

Φ^{p}(A²)≤((((M²+m²)^{p})/(4M^{p}m^{p})))²Φ(A)^{2p}.

eşitsizliği geçerlidir. Yine A, Hilbert uzayı üzerinde 0<m≤A≤M şartını sağlayan bir pozitif operatör olmak üzere, 1≤p<∞ ve her normalize edilmiş Φ pozitif lineer dönüşümü için

Φ^{p}(A⁻²)≤((1/(4(Mm)^{p}))(M+m+(((M-m)²)/(4(M+m))))^{2p})²Φ(A)^{-2p}

eşitsizliği
geçerlidir.

Keywords

Pozitif Operatörler, Operatör Eşitsizlikleri, Normalize Edilmiş Pozitif Lineer Dönüşümler

References

• Mond, B., Pecaric, J. E., Converses of Jensen’s inequality for linear maps of operators, An. Univ. Vest Timis. Ser. Mat. Inform. 31(2), 223-228, 1993.
• Fujii, M., Izumino, S., Nakamoto, R., Seo, Y., Operator inequalities related to Cauchy-Schwarz and Hölder-McCarthy inequalities, Nihonkai Math. J. 8, 117-122, 1997.
• Lin, M., On an operator Kantorovich inequality for positive linear maps, J. Math. Anal. 402, 127-132, 2013.
• Bhatia, R., Positive Definite Matrices, Princeton University Press, Princeton, 2007.
• Bhatia, R., Kittaneh, F., Notes on matrix arithmetic-geometric mean inequalities, Linear Algebra Appl. 308, 203-211, 2000.
• Ando, T., Zhan, X., Norm inequalities related to operator monotone functions, Math. Ann., 315, 771-780, 1999.