Genişletilmiş modüler grubun H ̅_3,3 alt grubu ve Fibonacci sayıları

Abstract

Bu çalışmada tam katsayılı otomorfizma ve anti-otomorfizmaların grubu olan genişletilmiş modüler grubun H ̅_3,3 alt grubunun elemanları ve Fibonacci sayıları arasındaki ilişki incelenecektir. H ̅_3,3   grubu, altı  mertebeli iki dihedral grubun iki mertebeli devirli grup altında, birleştirilmiş serbest çarpımıdır. Başka bir ifadeyle bu grup üç mertebeli X(z)=(-1)⁄((z-1) ), Y(z)=(-1)⁄((z+1) ) şeklinde iki eleman ve iki mertebeli R(z)=1⁄z ̅   bir yansıma dönüşümü tarafından üretilir. Böylece grubun herbir elemanı X, Y ve R nin kuvvetlerinin bir kombinasyonu olarak yazılabilir. Burada bu kombinasyonun içinde katsayıları Fibonacci sayıları olan bloklar elde edilecektir. 

Keywords

• Fibonacci sayıları,Modüler grup,Genişletilmiş genel Hecke grupları

The subgroup H ̅_3,3 of extended modular group and Fibonacci numbers

Abstract

In this study, relationships between the elements of the group H ̅_3,3, subgroup of extended modular group that consists of automorphisms and anti-automorphisms with integer coefficients, and Fibonacci numbers are studied. The group H ̅_3,3 is isomorphic to amalgamated free product of two dihedral groups of order six with cyclic group of order two. In other words this group is generated by two elements X(z)=(-1)⁄((z-1) ), Y(z)=(-1)⁄((z+1) ) of order three and a two ordered reflection R=1⁄z ̅ . Hence every element of H ̅_3,3 can be written as a combination of powers of X,Y and R. Here, it is investigated the blocks in this combination whose coefficients are Fibonacci numbers.

Keywords

• Fibonacci numbers,modular group,extended generalized Hecke groups

References

1. Jones, G.A. ve Thornton, J.S., Automorphisms and congruence Subgroups of the extended modular group, Jornal of the London Mathematical Society, 2, 34, 26-40, (1986). Şahin, R., İkikardeş, S. ve Koruoğlu, Ö., On the power Subgroups of the extended modular group, Turkish Journal of Mathematics, 28, 143-151, (2004). Koruoğlu, Ö., Şahin, R. ve İkikardeş, S., Trace classes and fixed points fort he extended modular group, Turkish Journal of Mathematics, 32, 11-19, (2008). Koruoğlu, Ö. ve Şahin, R., Generalized Fibonacci sequences related to the extended Hecke groups and an application to the extended modular group, Turkish Journal of Mathematics, 34, 325-332, (2010). Mushtaq, Q. ve Hayat, U., Horadam generalized Fibonacci numbers and the modular group, Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 38(5), 343-352, (2007). Mushtaq, Q. ve Hayat, U., Pell numbers, Pell-Lucas numbers and modular group, Algebra Colloquium, 14(1), 97-102, (2007). Lehner, J., Uniqueness of a class of Fuchsian groups, Illinois Journal of Mathematics, 19, 308-315, (1975). Demir, B., Koruoğlu, Ö. ve Şahin, R., Conjugacy classes of extended generalized Hecke groups, Revista De La Union Mathematica Argentina, 57(1), 49-56, (2016). Horadam, A.F., A generalized Fibonacci sequence, The American Mathematical Monthly, 48(5), 455-459, (1961). Miles, E.P.Jr., Generalized Fibonacci numbers and associated Matrices, The American Mathematical Monthly, 67, 8, 745-752, (1960). Lee, G.Y., Kim, J.S. ve Lee, S.G., Factorizations and eigenvalues of Fibonacci and symmetric Fibonacci Matrices, The Fibonacci Quaterly, 40(3), 203-211, (2002). Yılmaz Özgür, N., Generalizations of Fibonacci and Lucas sequences, Note Di Matematica, 21(1), 113-125, (2002). Birol, F., Koruoğlu,Ö., Şahin, R. ve Demir, B., Generalized Pell sequences related to the extended generalized Hecke groups H ̅_(3,q) and an application to the group H ̅_3,3, Yayına sunuldu.