New presentations of real numbers with k-Lucas numbers

Abstract

In this paper, we first obtain a series of k-Lucas numbers using k-Lucas numbers. We give new presentations of any real number u ≠ 0 using this obtained k-Lucas series and show polynominal repsesentations that every nonzero real number can be uniquely represented as the sum of the squares of consecutive k-Lucas numbers. To do this, we give new presentation theorems for any real number using k-Lucas series. Finally, to support these theorems, we give examples where we obtain the roots of the polynomial representations of a selected real number u ≠ 0, as well as the values representing the first ten prime numbers corresponding to a chosen k-Lucas polynomial.

Keywords

• k-Lucas number
• k-Lucas series
• presentation of real numbers.

Reel sayıların k-Lucas sayıları ile yeni temsilleri

Abstract

Bu çalışmada, ilk önce k-Lucas sayıların özelliklerini kullanarak k-Lucas sayılarının bir serisini elde ediyoruz. Daha sonra elde ettiğimiz bu k-Lucas serisini kullanarak herhangi bir u ≠ 0 reel sayısının yeni temsillerini elde ediyor ve her reel sayının ardışık k-Lucas sayılarının karelerinin toplamı olarak bir tek şekilde temsil edilebilir olduklarına yönelik polinom temsillerini gösteriyoruz. Bunu yapmak için k-Lucas serisini kullanarak herhangi bir reel sayı için yeni temsil teoremleri veriyoruz. Son olarak ise bu teoremleri desteklemek amacıyla seçilen özel bir u ≠ 0 gerçek sayısının polinom temsillerinin köklerini ve ayrıca seçilen bir k-Lucas polinomuna karşılık gelen ilk on asal sayıyı temsil eden değerlerini elde ettiğimiz örnekler veriyoruz.

Keywords

• k-lucas sayıları
• k-lucas serileri
• gerçek sayıların temsilleri

References

1. Falcon, S. and Plaza, A., On the Fibonacci k-numbers, Chaos, Solitons and Fractals, 32, 5, 1615-24, (2007).
2. Falcon, S. and Plaza, A., The k-Fibonacci sequence and the pascal 2-tringle, Chaos, Solitons and Fractals, 33, 1, 38-49, (2007).
3. Kocer E. G., Tuglu N. and Stakhov A., On the m-extension of the Fibonacci and Lucas p-numbers, Chaos, Solitons and Fractals 40, 4, 1890-1906, (2007).
4. Halıcı, S. and Akyüz, Z., Fibonacci and Lucas sequences at negative indices. Konuralp Journal of Mathematics, 4, 1, 172-178, (2016).
5. Stakhov, A. and Rozin, B., Theory of Binet formulas for Fibonacci and Lucas p-numbers, Chaos, Solitons and Fractals, 27, 5, 1162-1177, (2006).
6. Şiar, Z. and Keskin, R., Some new identities concerning generalized Fibonacci and Lucas numbers, Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 42, 3, 211-222, (2013).
7. Hoggatt, V.E., Generalized Zeckendorf Theorem, The Fibonacci Quarterly, 10, 1, 89-93, (1972).
8. Özgür, N.Y. and Uçar, S., New presentations for real numbers, Mathematical Sciences And Applications E-Notes, 3, 1, 13-17, (2015).

9. Falcon, S., On the k-Lucas numbers, International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, 6, 21, 1039-1050, (2011).
10. Falcon, S., On the Lucas triangle and its relationship with the k-Lucas numbers, Journal of Mathematics and Computer Sciences, 3, 425-434, (2012).
11. Özgür, N. Y. and Kaymak, Ö., On determination of k-Fibonacci and k-Lucas numbers, Mathematical Science and Applications E-Notes, 3, 2, 2, 20-26, (2015).
12. Chan, H. H. and Cooper, S., Rational Analogues of Ramanujan s series for 1/π, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 153, 2, 361-383, (2012).