A Section From The Foundational Efforts On Mathematics: The Hilbert Program

Abstract

This article examines the Hilbert Program, proposed by the German mathematician David Hilbert in the early 20th century, in both historical and philosophical contexts, focusing on its contribution to the foundation of mathematics. Beginning in the second half of the 19th century, the influence of positivist thought increased, leading to a growing tendency toward abstraction in the scientific world. This shift also spurred efforts to solidify the foundations of mathematics. Hilbert aimed to unify all of mathematics under a consistent and complete axiomatic system, adopting a formal (non–intuitive) method, distancing himself from heuristic approaches. In the first section of the article, the historical development of the concept of an axiomatic system and its place in mathematics after Euclid is discussed, along with the rise of formalism in the context of debates surrounding the fifth postulate. Following this, Hilbert’s efforts to ground real numbers, analysis, and set theory are detailed. The fundamental concepts underlying the program, such as consistency, completeness, and the finitist proof method, are explained in depth. In the final section of the article, the destructive impact of Kurt Gödel’s Incompleteness Theorems, presented in 1931, on the Hilbert Program is assessed. Gödel demonstrated that any sufficiently powerful axiomatic system cannot be both consistent and complete, thereby proving that Hilbert’s program could not be fully realized. In conclusion, although Hilbert’s goal of abso¬lute foundation could not be achieved, the program made signi¬ficant contributions to the axiomatization of mathematics and the development of formal logic. Contemporary systems, such as Zermelo–Fraenkel set theory and relative consistency appro¬aches, have been shaped by albeit indirect effects of the Hilbert Program.

Keywords

• History of Mathematics
• David Hilbert
• Hilbert’s Program
• Foundations
• Axiomatic Systems

Matematiğin Temellendirilmesi Çalışmalarından Bir Kesit: Hilbert Programı

Abstract

Bu makale, yirminci yüzyılın başlarında Alman matematikçi David Hilbert tarafından ortaya konan Hilbert Programı’nı, tarihsel ve felsefî çerçevede ele alarak matematiğin temellendirilmesine katkısını incelemektedir. On dokuzuncu yüzyılın ikinci yarısından itibaren etkisini artıran pozitivist düşüncenin etkisiyle bilim dünyasında soyutlamaya yönelik eğilim artmış ve bu durum, matematiğin temellerini sağlamlaştırma çabalarını da beraberinde getirmiştir. Hilbert, tüm matematiği tutarlı ve tamamlanabilir bir aksiyomatik sistem altında birleştirmeyi hedeflemiş ve bu amaçla sezgisel yaklaşımlardan uzak, biçimci (formal) bir yöntem benimsemiştir. Makalenin ilk bölümünde, aksiyomatik sistem kavramının tarihsel gelişimi ve Eukleides sonrası matematikteki yeri ele alınmış ve beşinci postulat etrafında gelişen tartışmalar bağlamında biçimciliğin yükselişi açıklanmıştır. Ardından, Hilbert’in reel sayılar, analiz ve kümeler kuramı üzerindeki temellendirme çabaları detaylandırılmıştır. Programın dayandığı temel kavramlar olan tutarlılık, tamlık ve finitist ispat yöntemi, kapsamlı şekilde açıklanmıştır. Makalenin son bölümünde Kurt Gödel’in 1931 yılında ortaya koyduğu Eksiklik Teoremleri’nin, Hilbert Programı üzerindeki yıkıcı etkisi değerlendirilmiştir. Gödel, yeterince güçlü herhangi bir aksiyomatik sistemin hem tutarlı hem de tam olamayacağını göstermiş, böylece Hilbert’in programının tam anlamıyla gerçekleştirilemeyeceğini ispatlamıştır. Sonuç olarak her ne kadar Hilbert’in hedeflediği mutlak temellendirme mümkün olmasa da bu program matematiğin aksiyomatikleştirilmesi sürecine ve biçimsel mantığın gelişimine önemli katkılar sunmuştur. Günümüzde kullanılan Zermelo-Fraenkel kümeler kuramı gibi sistemler ve göreli tutarlılık yaklaşımları, Hilbert Programı’nın doğrudan olmasa da dolaylı etkileriyle şekillenmiştir.

Keywords

• Matematik Tarihi
• David Hilbert
• Hilbert Programı
• Temellendirme
• Aksiyomatik Sistemler

References

1. Bilgin, Zehra. “Çağdaş Matematiğin Temeli Olarak Kümeler Kuramı”. Kutadgubilig Fel¬sefe–Bilim Araştırmaları 38 (2018), 257–281.
2. Feferman, Solomon. “Lieber Herr Bernays!, Lieber Herr Gödel! Gödel on Finitism, Constructivity and Hilbert’s Program”. Dialectica 62/2 (2008), 179–203.
3. Freudenthal, Hans. “David Hilbert”. Dictionary of Scientific Biography. Ed. Charles Coulston Gillispie. 6/388–395. New York: Charles Scribner’s Sons, 1981. Hilbert, David. “On the Infinite”. Mathematische Annalen 95 (1926), 161–190.
4. Hofstadter, Douglas R. “Yeni Baskıya Önsöz”. çev. Bülent Gözkan. Gödel Kanıtlaması. mlf. Ernest Nagel – James R. Newman. İstanbul: Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi, 2008.
5. Irvine, Andrew David. “Principia Mathematica”. The Stanford Encyclopedia of Philos¬ophy. Ed. Edward N. Zalta. Erişim 27 Aralık 2017. https://plato.stanford.edu/ar¬chives/win2016/entries/principia–mathematica/
6. Irvine, Andrew David – Deutsch, Harry. “Russell’s Paradox”. The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Ed. Edward N. Zalta . Erişim 27 Aralık 2017. https://plato.stanford. edu/archives/win2016/entries/russell–paradox/
7. Kreisel, Georg. “Hilbert’s Programme”. Dialectica 12/3–4 (1958), 346–372.
8. Sieg, Wilfried. “Hilbert’s Program Sixty Years Later”. The Journal of Symbolic Logic 53/2 (1988), 338–348.

9. Sieg, Wilfried. “Hilbert’s Program: 1917–1922”. Bulletin of Symbolic Logic 5/1 (1999), 1–44.
10. Smorynski, Craig. “The Incompleteness Theorems”. Handbook of Mathematical Logic. ed. Jon Barwise. 821–865. North Holland Publishing Company, 1977.
11. Van Atten, Mark. “Luitzen Egbertus Jan Brouwer”. The Stanford Encyclopedia of Philos¬ophy. Ed. Edward N. Zalta. Erişim 27 Aralık 2017. https://plato.stanford.edu/archi¬ves/win2017/entries/brouwer/
12. Van Rootselaar, B. “Brouwer, Luitzen Egbertus Jan”. Dictionary of Scientific Biograp¬hy. Ed. Charles Coulston Gillispie. 2/512–514. New York: Charles Scribner’s Sons, 1981.
13. Zach, Richard. “Hilbert’s Program Then and Now”. Philosophy of Logic 5 (2006), 411– 447.