Examination of Proof Schemes of Elementary Mathematics Teachers

Year 2023, , 245 - 262, 14.08.2023

Funda Kurttekin , Mustafa Akıncı

https://doi.org/10.5961/higheredusci.1197423

Abstract

The purpose of this study is to identify the proof schemes employed by elementary mathematics teachers. This is a case study which
employs the qualitative research methodology. The convenience sampling method, one of the types of purposive sampling method, was
used to select the participants of the study. The data were collected by using task-based interviews which consist of worksheets and a
test including proof processes related items A pilot study was made to ensure the validity and reliability of the data collection tools.
The data collection tools were prepared by taking into account the results of the pilot study, expert opinions and studies carried out.
Elementary mathematics teachers’ proof schemes were investigated based on Harel and Sowders’s proof schemes. In the analysis of the
findings, the descriptive analysis method which was one of the types of qualitative analyses was used to analyze the data. Results showed the characteristics of external, experimental and analytical proof schemes in three basic categories in teachers’ verifications were observed
while the characteristics of external authoritarian and symbolic proof schemes in the sub-categories were not encountered. It was seen that
teachers performed characteristics based on more than one schema in some of the items. In addition, the most frequently used scheme was
the analytical transformational proof scheme. It is concluded that teachers lack confidence in their ability to articulate themselves and have
deficiencies in their knowledge of proof despite the analytical proof schemes were employed frequently which were at the highest level in
proof. Some recommendations are given based on the results of the study.

Keywords

Proof, Proof schemes, Elementary mathematics teacher

İlköğretim Matematik Öğretmenlerinin Kanıt Şemalarının İncelenmesi

Abstract

Çalışmanın amacı, ilköğretim matematik öğretmenlerinin kullandıkları kanıt şemalarını ve bu şemaların nasıl ortaya çıktığını belirlemektir. Nitel araştırma yönteminin benimsendiği bu çalışma, durum çalışmasıdır. Çalışmanın araştırma grubunu oluşturan, dört ilköğretim matematik öğretmeninin seçiminde; amaçlı örnekleme yöntemi olan kolay ulaşılabilir örnekleme yönteminden yararlanılmıştır. Çalışmanın verileri, görev temelli görüşmeler yardımıyla toplanmıştır. Görev temelli görüşmeler, çalışma kâğıdı ve kanıt süreçlerine ait soru formundan oluşmaktadır. Veri toplama araçlarının geçerlilik ve güvenirliğini sağlamak amacıyla pilot uygulama yapılmış, veri toplama araçları; pilot uygulama sonuçları, uzman görüşleri ve yapılan araştırmalar dikkate alınarak son halini almıştır. Öğretmenlerin sahip oldukları kanıt şemaları, Sowder ve Harel’in (1998) kanıt şemaları kavramsal çerçevesine göre belirlenmiştir. Elde edilen olguların analizinde, nitel veri analizi olan betimsel analiz yöntemi kullanılmıştır. Öğretmenlerin görev temelli görüşmelerden elde edilen bulguları göz önüne alındığında dışsal, deneysel ve analitik kanıt şemaları şeklinde üç temel kategorideki kanıt şemalarına ait özelliklere sahip oldukları görülmüştür. Bununla beraber öğretmenlerin doğrulamalarında dışsal otoriter ve sembolik kanıt şeması özelliklerine rastlanmamıştır. Öğretmenlerin bir soruya ait doğrulamalarında farklı şemalara ait özelliklere sahip olduğu belirlenmiştir. Görev temelli görüşmelerde en fazla kullanılan şema analitik dönüşümsel kanıt şeması olmuştur. Analitik kanıt şemalarının ağırlıklı kullanılmış olmasına rağmen öğretmenlerin kendilerini ifade etme konusunda çekimser bir tavır sergiledikleri ve kanıta ait bilgilerinde eksikler olduğu görülmüştür. Çalışmanın sonuçlarına bağlı olarak bazı önerilerde bulunulmuştur.

Keywords

Kanıt, Kanıt şemaları, İlköğretim matematik öğretmenleri

References

• Alcock, L. and Weber, K. (2005). Referential and syntactic approaches to proof: case studies from a transition course, In Chick, H. L. and Vincent, J. L. (Eds.). Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 2, pp. 33-40. Melbourne.
• Almeida, D. (2000). A survey of mathematics undergraduates' interaction with proof: some implications for mathematics education. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 31(6), 869-890.
• Almeida, D. (2003). Engendering proof attitudes: can the genesis of mathematical knowledge teach us anything? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34(4), 479-488.
• Antonini, S. & Mariotti, M. A. (2007). Indirect proof: An interpreting model. In D. PittaPantazi, & G. Philippou (Eds.), Proceedings of the 5th Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 541–550). Cyprus: Larnaca.
• Arslan, M. (2007). Eğitimde yapılandırmacı yaklaşımlar. Ankara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Fakültesi Dergisi, 40 (1), 41-61.
• Arslan, S., & Yıldız, C. (2010). 11. sınıf öğrencilerinin matematiksel düşünmenin aşamalarındaki yaşantılarından yansımalar. Eğitim ve Bilim, 35(156).
• Aydoğdu, T., Olkun, S., & Toluk, Z. (2003). İlköğretim 6, 7 ve 8. sınıf öğrencilerinin matematik problemlerine ürettikleri çözümleri kanıtlama süreçleri. Eğitim Araştırmaları, 4(12), 64-74.
• Baki, A., (1999). Öğretmen Eğitimi Üzerine Düşünceler. Türk Yurdu, 19(138), 4-9.
• Baki, A. (2014). Kuramdan uygulamaya matematik eğitimi: matematik felsefesi, matematik tarihi, özel öğretim yöntemleri, ölçme ve değerlendirme. Harf Yayınları.
• Baki, A., Güven, B., & Karataş, İ. (2002). Dinamik geometri yazılımı cabri ile keşfederek öğrenme. V. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi’nde sunulan bildiri, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara.
• Bayazit, İ. (2017). İspat’ın önemi ve ispat konusundaki öğretmen yeterliklerinin incelenmesi. Turkish Studies, 12(14), 19-40.
• Bell, A. W. (1976). A study of pupils' proof-explanations in mathematical Educational studies in mathematics, 23-40.
• Barak, B. (2018). Ortaokul matematik öğretmen adaylarının ispat yapma süreçlerinin incelenmesi. (Doktora Tezi). Anadolu Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Eskişehir.
• CadwalladerOlsker, T. (2007). Proof schemes and proof writing. (Doktora Tezi). Claremont Graduate University.
• Chazan, D. (1993). High school geometry students' justification for their views of empirical evidence and mathematical proof. Educational studies in mathematics, 24(4), 359-387.
• Coşkun, F. (2009). Ortaöğretim öğrencilerinin Van Hiele geometri anlama seviyeleri ile ispat yazma becerileri arasındaki ilişki. (Yüksek Lisans Tezi). Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Trabzon.
• Creswell, J., W. (2009). Mapping the field of mixed methods research. Journal of mixed methods research, 3(2), 95-108.
• Cusi, A., & Malara, N. (2007). Proofs problems in elementary number theory: Analysis of trainee teachers’ productions. In Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education.
• Çontay, E., G. (2017). Ortaokul matematik öğretmeni adaylarının ispat şemaları. (Doktora Tezi). Pamukkale Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Denizli.
• Çontay, E. G., & Paksu, A. D. (2018). Ortaokul matematik öğretmeni adaylarının ispat şemaları ve bu şemaları ortaya koyan ifadelerinin incelenmesi. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education (TURCOMAT), 10(1), 59-100.
• Ellis, A., B. (2007). Connections between generalizing and justifiying; Students’ reasoning with linear relationships. Journal for Research in Mathematics Education, 38(3), 194-229.
• Ercan, N. Ö. (2020). Ortaokul 7. Sınıf öğrencilerinin a-didaktik bir ortamda geometri konularında kullandıkları kanıt şemaları. (Yüksek Lisans Tezi). Kastamonu Üniversitesi. Fen Bilimleri Enstitüsü, Kastamonu.
• Erdoğan, A., & Erdoğan, E. (2013). Didaktik durumlar teorisi ışığında ilköğretim öğrencilerine matematiksel süreçlerin yaşatılması. Ahi Evran Üniversitesi Kırşehir Eğitim Fakültesi Dergisi, 14(1), 17-34.
• Flores, A. (2002). How do children know that what they learn in mathematics is true? Teaching Children Mathematics, 8(5), 269-279.
• Flores, A. (2006). How do students know what they learn in middle school mathematics is true? School science and mathematics, 106(3), 124-132.
• Gall, M. D., Borg, W. R., & Gall, J. P. (1996). Educational research: An introduction. Longman Publishing.
• Goldin, G. A. (2000). Affective pathways and representation in mathematical problem solving. Mathematical thinking and learning, 2(3), 209-219.
• Grigoriadou, O. (2012). Reasoning in geometry. How first learning to appreciate the generality of arguments helps students come to grips with the notion of proof. (Master Tezi). University of Amsterdam, Holland.
• Güner, P. (2012). Matematik öğretmen adaylarının ispat yapma süreçlerinde DNR tabanlı öğretime göre anlama ve düşünme yollarının incelenmesi. (Doktora Tezi). Marmara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
• Güven, B., Çelik, D., & Karataş, İ. (2005). Ortaöğretimdeki çocukların matematiksel ispat yapabilme durumlarının incelenmesi. Çağdaş Eğitim Dergisi, 30(316), 35-45.
• Hanna, G. (1990). Some pedagogical aspects of proof. Interchange, 21(1), 6-13.
• Hanna, G. (2000). Proof, explanation and exploration: An overview. Educational studies in mathematics, 44(1), 5-23.
• Hanna, G., & de Villiers, M. (2008). ICMI Study 19: Proof and proving in mathematics education. ZDM, 40(2), 329-336.
• Harel, G. (2001). The development of mathematical induction as a proof scheme: A model for DNR-based instruction.
• Harel, G. (2007). Students' proof schemes revisited. In Theorems in school (pp. 65-78). Brill Sense.
• Harel, G., & Rabin, J., M. (2010). Brief Report: Teaching Practices Associated With the Authoritative Proof Scheme. Journal for research in mathematics education, 41(1), 14-19.
• Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students’ proof schemes: Results from exploratory studies. American Mathematical Society, 7, 234-283.
• Harel, G., & Sowder, L. (2007). Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof. Second handbook of research on mathematics teaching and learning, 2, 805-842.
• Haverhals, N. J. (2011). Students' development in proof: A longitudinal study. University of Montana.
• Henderson, K., & Tilbury, D. (2004). Whole-school approaches to sustainability: An international review of sustainable school programs. Australian Research Institute in Education for Sustainability: Australian Government.
• Housman, D., & Porter, M. (2003). Proof schemes and learning strategies of above-average mathematics students. Educational Studies in Mathematics, 53(2), 139-158.
• Houssart, J., & Evens, H. (2011). Conducting task‐based interviews with pairs of children: consensus, conflict, knowledge construction and turn taking. International Journal of Research & Method in Education, 34(1), 63-79.
• İmamoğlu, Y. (2010). Birinci ve son sınıf matematik ve matematik öğretmenliği öğrencilerinin ispatla ilgili kavramsallaştırma ve becerilerinin incelenmesi. (Doktora Tezi). Boğaziçi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
• Aydoğdu İskenderoğlu, T. (2003). Farklı Sınıf Düzeyindeki Öğrencilerin Matematik Problemlerini Kanıtlama Süreçleri. (Yüksek Lisans Tezi). Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Sosyal Bilimler Enstitüsü, Bolu.
• İskenderoğlu, T. (2010). İlköğretim Matematik Öğretmeni Adaylarının Kanıtlamayla İlgili Görüşleri ve Kullandıkları Kanıt Şemaları. (Doktora Tezi). Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Trabzon.
• İskenderoğlu Aydoğdu T. (2016). Kanıt ve kanıt şemaları. Matematik eğitiminde teoriler, 65-84.
• İskenderoğlu, T., Baki, A., & İskenderoğlu, M. (2010). Proof schemes used by first grade of preservice mathematics teachers about function topic. Procedia-Social and Behavioral Sciences, 9, 531-536.
• İskenderoğlu Aydoğdu, T., & Baki, A. (2011). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının matematiksel kanıt yapmaya yönelik görüşlerinin nicel analizi. Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri, 11(4), 2275-2290.
• Jones, K. (1997). Student-Teachers’ Conceptions of Mathematical Proof. Mathematics Education Review, 9, 16-24.
• Johnson, B., & Christensen, L. (2004). Educational research: Quantitative, qualitative, and mixed approaches (2nd ed.). Needham Heights, MA: Allyn ve Bacon.
• Knapp, J. L., 2006. Students’ Appropriation of Proving Practices in Advanced Calculus. (Doktora Tezi). Arizona State University.
• Kitcher, P. (1984). The nature of mathematical knowledge. Oxford University Press on Demand.
• Keçeli-Bozdağ, S. (2012). Matematik öğretmen adaylarının ispat yapmaya yönelik tutumları ile ispatlama becerileri arasındaki ilişki. (Yüksek Lisans Tezi). Dokuz Eylül Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü, İzmir.
• Knapp, J., & Zandieh, M. (2004). Examples as tools for understanding proof ın geometry. North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education October 2004 Toronto, Ontario, Canada, 675.
• Knuth, E. J. (2002). Secondary school mathematics teachers' conceptions of proof. Journal for research in mathematics education, 33(5), 379-405.
• Knuth, E. J., Choppin, J. M., & Bieda, K. N. (2009). Examples and beyond. Mathematics Teaching in the Middle School, 15 (4), 206-211.
• Koichu, B. (2009). What can pre-service teachers learn from interviewing high school students on proof and proving?. In Proceedings of the ICMI Study 19 Conference: Proof and Proving in Mathematics Education (Vol. 2, pp. 9-15). The Weizmann Institute of Science.
• Koichu, B., & Harel, G. (2007). Triadic interaction in clinical task-based interviews with mathematics teachers. Educational Studies in Mathematics, 65(3), 349-365.
• Lee, W. I. (1999). The relationship between students' proof-writing ability and van Hiele levels of geometric thought in a college geometry course. University of Northern Colorado.
• Maher, C. A., & Sigley, R. (2020). Task-based interviews in mathematics education. Encyclopedia of mathematics education, 821-824.
• Mariotti, M. A., & Balacheff, N. (2008). Introduction to the special issue on didactical and epistemological perspectives on mathematical proof. ZDM, 40(3), 341-344.
• Martin, T. S., McCrone, S. M. S., Bower, M. L. W., & Dindyal, J. (2005). The interplay of teacher and student actions in the teaching and learning of geometric proof. Educational Studies in Mathematics, 60(1), 95-124.
• McCrone, S. M. S., & Martin, T. S. (2004). Assessing high school students’ understanding of geometric proof. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 4(2), 223-242.
• Mcmillan, J., H. (2000). Educational Research: Fundamentals fort he consumer. New York: Longman.
• Martin, W., G., & Harel, G. (1989). Proof frames of preservice elementary teachers. Journal for research in mathematics education, 20(1), 41-51.
• MEB (2018). Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı Ortaöğretim Matematik Dersi (9,10,11 ve 12. Sınıflar) Öğretim Programı. Ankara: Milli Eğitim Bakanlığı.
• Mejia-Ramos, J., P., & Tall, D. (2005). Personal and public aspects of formal proof: A theory and a single-case study.
• Mingus, T. T., & Grassl, R. M. (1999). Preservice teacher beliefs about proofs. School Science and Mathematics, 99(8), 438-444.
• Moralı, S., Uğurel, İ., Türnüklü, E., & Yeşildere, S. (2006). Matematik öğretmen adaylarının ispat yapmaya yönelik görüşleri. Kastamonu Eğitim Dergisi, 14(1), 147-160.
• National Council of Teachers of Mathematics [NCTM] (2000). Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VI: National Council of Teachers of Mathematics.
• Norby, K. (2013). Investigating viable arguments: pre-service mathematics teachers' construction and evaluation of arguments. (Doktora Tezi). Montana State University, Montana.
• Oehrtman, M., & Lawson, A. E. (2008). Connecting science and mathematics: The nature of proof and disproof in science and mathematics. International Journal of Science and Mathematics Education, 6(2), 377-403.
• Ören, D. (2007) Onuncu sınıf öğrencilerinin geometrideki ispat şemalarının bilişsel stilleri ve cinsiyetlerine göre incelenmesine yönelik bir çalışma. (Yüksek Lisans Tezi). Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara.
• Özer, Ö., & Arıkan, A. (2002). Lise matematik derslerinde öğrencilerin ispat yapabilme düzeyleri. V. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi, 2, 1083-10989.
• Öztürk, T., & Demirel, D. (2022). Türkiye’de ispat üzerine yapılan çalışmaların analizi: bir sistematik derleme. Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 54, 32-68.
• Pala, O., & Narlı, S. (2018). Matematik öğretmeni adaylarının sonsuz kümelerin denkliği ile ilgili ispatlama yaklaşımları ve yaşadıkları güçlükler. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education, 9(3), 449-475.
• Pekşen-Sağır, P. (2013). Matematik öğretmen adaylarının ispat yapma süreçlerinin incelenmesi. (Doktora Tezi). Marmara Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
• Plaxco, D., B. (2011). Relationship between students' proof schemes and definitions . (Doktora Tezi). Virginia Tech.
• Polya, G., & Szegö, G. (1945). Inequalities for the capacity of a condenser. American Journal of Mathematics, 67(1), 1-32.
• Recio, A. M., & Godino, J. D. (2001). Institutional and personal meanings of mathematical proof. Educational studies in mathematics, 48(1), 83-99.
• Riley, K. J. (2003). An investigation of prospective secondary mathematics teachers' conceptions of proof and refutations. Montana State University, Montana.
• Sarı, M., Altun, A., & Aşkar, P. (2007). Undergraduate Students’ Mathematical Proof Processes in a Calculus Course: A Case Study. Ankara University, Journal of Faculty of Educational Sciences, 40(2), 295-319.
• Selden, A., & Selden, J. (2003). Validations of proofs considered as texts: Can undergraduates tell whether an argument proves a theorem?. Journal for research in mathematics education, 34(1), 4-36.
• Şen, C., & Güler, G. (2015). Examination of Secondary School Seventh Graders' Proof Skills and Proof Schemes. Universal Journal of Educational Research, 3(9), 617-631.
• Solomon, Y. (2006). Deficit or difference? The role of students’ epistemologies of mathematics in their interactions with proof. Educational Studies in Mathematics, 61(3), 373-393.
• Sowder, L., & Harel, G. (1998). Types of students’ justifications. The Mathematics Teacher, 91(8), 670-675.
• Sowder, L., & Harel, G. (2003). Case studies of mathematics majors’ proof understanding, production, and appreciation. Canadian Journal of Math, Science & Technology Education, 3(2), 251-267.
• Soto, O. D. (2010). Teacher change in the context of a proof-centered Professional development. University of California, San Diego and San Diego State University.
• Stylianides, A. L. (2007). Proof and proving in school mathematics. Journal for research in Mathematics Education, 38(3), 289-321.
• Stylianou, D., Chae, N., & Blanton, M. (2006). Students proof schemes: a closer look at what characterizes students proof conceptions. In Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 54-60).
• Şahin, N., & Eraslan, A. (2019). Ortaokul matematik öğretmeni adaylarının matematik uygulamaları dersinde modelleme etkinliklerinin kullanılmasına yönelik görüşleri. Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi, 10(2), 373- 393.
• Şen, C., & Güler, G. (2015). Examination of Secondary School Seventh Graders' Proof Skills and Proof Schemes. Universal Journal of Educational Research, 3(9), 617-631.
• Şengül, S., & Güner, P. (2013). DNR tabanlı eğitime göre matematik öğretmen adaylarının ispat şemalarının incelenmesi. The Journal of Academic Social Science Studies, 6(2).
• Tall, D. (1998). The cognitive development of proof: Is mathematical proof for all or for some. In Conference of the University of Chicago School Mathematics Project.
• Tall, D. (2014). Making sense of mathematical reasoning and proof. In Mathematics & mathematics education: Searching for common ground (pp. 223-235). Springer, Dordrecht.
• Tucker, T. W. (1999). On the role of proof in calculus courses. Contemporary issues in mathematics education, 36, 31-35.
• Uygan, C., Tanışlı D. & Köse N. (2014). İlköğretim matematik öğretmeni adaylarının kanıt bağlamındaki inançlarının, kanıtlama süreçlerinin ve örnek kanıtları değerlendirme süreçlerinin incelenmesi. Turkish Journal of Computer and Mathematics Education,5(2), 137-157.
• Weber, K. (2001). Student difficulty in constructing proofs:The need for strategic knowledge. Educational Studies inMathematics, 48, 101-119.
• Weber, K. (2006). Investigating and teaching the processes used toconstruct proofs. In F. Hitt, G. Harel & S. Hauk (Eds.), Researchin college mathematics education, VI (pp. 197- 232). RI:American Mathematical Society.
• Yeşildere, S., & Türnüklü, E. B. (2007). Öğrencilerin matematiksel düşünme ve akıl yürütme süreçlerinin incelenmesi. Ankara University Journal of Faculty of Educational Sciences, 40(1), 181-213.
• Yıldırım, A., & Şimşek, H. (2018). Nitel Araştırma Yöntemleri. (11. Baskı). Ankara: Seçkin Yayıncılık.
• Yin, R., K. (2009). Designing case studies. Qualitative research methods, 5(14), 359-386.
• Zaimoğlu, Ş. (2012). 8. sınıf öğrencilerinin geometrik ispat süreci ve eğilimleri. (Yüksek Lisans Tezi) Kastamonu Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Kastamonu.