Robust Estimation for Correlated Observations

Abstract

M-estimation is a robust technique to reduce or remove the effect of outliers in geodetic networks. In this paper, bifactor reduction model of weight elements, which is the adaptation of M-estimation to correlated observations, is studied. A shrinking factor for weight elements is proposed in the robust parameter estimator based on a bifactor reduction model of weight elements. The new equivalent weight matrix composed by the bifactor weight elements preserves the symmetry and keeps the original correlation coeffi cients unchanged. The method is tested through a simulation study. Furthermore, the performances of the least squares method and the robust estimation for correlated observations based on the bifactor reduction model of weight elements RECO have been compared. From the fi ndings of this study, it can safely be said that RECO is a more successful method in outlier detection compared with the least squares method. In other words, RECO has provided the best possible solution while the least squares method has yielded a highly contaminated solution

Keywords

• Robust Estimation, Correlated Observations, Bifactor Reduction Model, GPS Network, Outliers

Ölçülerin Korelasyonlu Olması Durumunda Robust Kestirim

Abstract

M-Kestirimi uyuşumsuz ölçülerin etkisini azaltmak veya yok etmek için kullanılan robust bir yöntemdir. Bu makalede M-Kestiriminin korelasyonlu gözlemlere uyarlandığı bir yöntem olan ağırlık elemanlarının robust bifaktör indirgeme modeli RBİM incelenmiştir. Ağırlık elemanlarının bifaktör indirgeme modeline dayalı robust parametre kestiricisinde ağırlık elemanları için bir küçültme faktörü önerilmektedir. Bifaktör ağırlık elemanlarıyla oluşturulan yeni eşdeğer ağırlık matrisi simetriyi ve orijinal korelasyon katsayılarını korumaktadır. Bir simülasyon çalışması yapılarak yöntem test edilmiştir. Ayrıca en küçük kareler yöntemi ile RBİM’nin performansı karşılaştırılmıştır. Simülasyon çalışması sonucu en küçük kareler yöntemine göre RBİM’nin uyuşumsuz ölçüler olduğu zaman daha iyi yansız bir parametre kestirimi sağladığı görülmüştür

Keywords

• Robust Kestirim, Korelasyonlu Gözlemler, Bifaktör İndirgeme Modeli, GPS Ağı, Uyuşumsuz Ölçüler

References

1. ANDREWS D.: A robust method for multiple linear regression, Technometrics, 16:523-531, 1974.
2. BAARDA W. A testing procedure for use in geodetic networks, Publications on Geodesy. New Series 2, no.5. Netherlands Geodetic Com., Delft, 1968.
3. BASELGA S.: Critical Limitation in use of τ test for gross er- ror detection, J Surv Eng, 133(2): 52-55, 2007.
4. BERBER M. HEKİMOĞLU Ş. : What is the reliability of conven- tional outlier detection and robust estimation in triletera- tion networks?, Surv Rev, 37(290):308-318, 2003.
5. CRAMÉR H. : Mathematical methods of statistics, Princeton University Press, Princeton, 1946.
6. DEMİREL H. : Dengeleme Hesabı, YTÜ, İstanbul, 2003.
7. ERENOĞLU R.C., HEKİMOĞLU Ş. : An investigation to robust estimation applied to correlated GPS networks, M.G. Sideris (Ed.), Observing our Changing Earth, International Association of Geodesy Symposia 133, 639-644, 2008.
8. GROSS J. : Linear regression, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 2003.

9. GÖKALP E., BOZ Y. :Robust M-kestirimlerin GPS ağlarındaki uyuşumsuz baz vektörlerini belirlemede karşılaştırılması, Harita Dergisi, Sayı: 134, 1-17, 2005.
10. HAMPEL F., RONCHETTI E., ROUSSEEUW P., STAHEL W. : Robust statistics: the approach based on infl uence func- tions, Wiley, New York, 1986.
11. HEKİMOĞLU Ş. : Finite sample breakdown points of outlier detection procedures, J Surv Eng, 123(1):15-31, 1997.
12. HEKİMOĞLU Ş. : Do robust methods identify outliers more relia- bly than conventional tests for outliers?, ZfVermessungwesen, Vol. 05/03, 174-180, 2005.
13. HEKİMOĞLU Ş., BERBER M. : Effectiveness of robust methods in heterogeneous linear models, J Geod 76:706-713, 2003.
14. HEKİMOĞLU Ş., ERENOĞLU R.C. : Jeodezik ağlarda uyuşumsuz ölçülerin klasik yaklaşım ve robust yöntem- lerle belirlenmesi, HKM Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi, Sayı: 97, 3-14, 2007.
15. HEKİMOĞLU Ş., ERENOĞLU R.C. : Effect of heteroscedastic- ity and heterogeneous on outlier detection for geodetic net- works, J Geod 81:137-148, 2007.
16. HUBER P.J. : Robust statistics, Wiley, New York, 1981.
17. İNAL C., YETKİN M. : Robust yöntemlerle uyuşumsuz ölçülerin belirlenmesi, S.Ü. Müh. Mim. Fak. Derg., c.21,s.3-4,2006.
18. KOCH K.R. : Parameter estimation and hypothesis testing in linear models, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1999.
19. KUANG S. L. : Geodetic network analysis and optimal design, Ann Arbor Press, Ann Arbor, Michigan, 1996.
20. MONTGOMERY D. C., PECK E. A., VINING, G. G. : Introduction to linear regression analysis, 3nd edn. Wiley, New York.
21. POPE A.J. : The statistics of residuals and the outlier detection of outliers, NOAA Technical reports NOS 65, National Geodetic Survey, Rockville, 1976.
22. ROUSSEEUW P.J. LEROY A.M. : Robust regression and outlier detection, John Wiley, New York, 1987.
23. SIMKOOEI A.A. : Formulation of L norm minimization in 1 Gauss-Markov Models, J Surv Eng, 129(1):37-43, 2003.
24. STAUDTE R. G. SHEATER S. J. : Robust estimation and testing, Wiley, New York, 1990.
25. STRANG G. BORRE K. : Linear algebra, geodesy and GPS, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, USA, 1997.
26. XU P. : On the robust estimation with correlated observations, Bull Geod 63:237:252, 1989.
27. XU P. : Sign-constrained robust least squares, subjective bre- akdown point and the effect of weights of observations on robustness, J Geod 79:146-159, 2005.
28. WICKI F. : Robuste Schätzverfahren für die parameterschät- zung in geodätischen netzen, Institut für geodäsie und photo- grammetrie an der ETH, Zürich, Mitt. Nr. 67, 1999.
29. YANG Y. : Robust estimation for dependent observations, Manuscr Geod 19(1):10-17, 1994.
30. YANG Y. SONG L. XU T. : Robust estimator for correlated observations based on bifactor equivalent weights, J Geod 76:353-358, 2002.
31. YAŞAYAN A. : Robust kestirim kavramı, ilkesi ve uygulamaları üzerine irdelemeler, HKM Jeodezi, Jeoinformasyon ve Arazi Yönetimi Dergisi, Sayı: 72, 56-66, 1992.
32. YETKİN M. İNAL C. YİĞİT C.Ö. : Korelasyonlu GPS Baz Bileşenlerinin Robust Bifaktör İndirgeme Modeli ile Dengelenmesi, 11. Harita Bilimsel ve Teknik Kurultayı, Ankara, 2007.
33. YETKİN M. : GPS Ağlarının Optimal Tasarımı ve Robust İstatistik Yöntemlerin Kullanılabilirliği, Selçuk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Jeodezi ve Fotogrametri Müh. ABD Yüksek Lisans Tezi, 2008.