On the Mapping of a Two-Dimensional Surface in Euclidean Space $E_4$

Abstract

In this paper, we study the mapping of surfaces of Euclidean spaces \( V_{2}\subset E_{4}\) and \({\overline{V}}_{2}\subset {\overline{E}}_{4}\) as completely orthogonal subspaces in the proper Euclidean space \(E_{8}\), having one common point \(O\). We investigate the properties of conjugate sets and Voss surfaces in this mapping. We prove that the sets \(\sigma_{2}\) and \({\overline{\sigma}}_{2}\) corresponds to the mapping \(T\) if and only if one of the following conditions is satisfied: i. the sets \(\sigma_{2}\) and \({\overline{\sigma}}_{2}\) coincide with the base of the mapping \(T\) ii. the mapping \(T\) is conformal. We also show that the base of the mapping \(T\) harmonically separates the conjugate sets \(\Sigma_{2}\) and \({\overline{\Sigma}}_{2}\) if and only if condition \({\overrightarrow{C}}_{12}\left( C_{12}^{3}{\overrightarrow{e}}_{1}-C_{12}^{4}{\overrightarrow{e}}_{2}\right)=0\) is satisfied. Finally, we establish the existence of a pair of Voss surfaces of 14 functions of one argument.

Keywords

• Euclidean space
• Voss surface
• Mappings of n-dimensional surfaces

Öklid uzayı E_4'te iki boyutlu bir yüzeyin haritalanması üzerine

Abstract

Bu makalede, bir $O$ ortak noktasına sahip $E_{8}$ öz Öklid uzayında tamamen ortogonal alt uzaylar olarak $V_{2}\subset E_{4}$ ve ${\overline{V}}_{2}\subset {\overline{E}}_{4}$ Öklid uzaylarının yüzeylerinin eşlemesini inceliyoruz. Bu eşlemedeki eşlenik kümelerin ve Voss yüzeylerinin özelliklerini araştırıyoruz. $\sigma_{2}$ ve ${\overline{\sigma}}_{2}$ kümelerinin $T$ eşlemesine karşılık gelmesinin ancak ve ancak aşağıdaki koşullardan birinin sağlanmasıyla mümkün olduğunu kanıtlıyoruz: i. $\sigma_{2}$ ve ${\overline{\sigma}}_{2}$ kümelerinin $T$ eşlemesinin tabanı ile çakışması ii. $T$ eşlemesinin konformal olması. Ayrıca, $T$ eşlemesinin tabanının $\Sigma_{2}$ ve ${\overline{\Sigma}}_{2}$ eşlenik kümelerini harmonik olarak ayırmasının ancak ve ancak ${\overrightarrow{C}}_{12}\left( C_{12}^{3}{\overrightarrow{e}}_{1}-C_{12}^{4}{\overrightarrow{e}}_{2}\right)=0$ koşulunun sağlanması durumunda gerçekleştiğini gösteriyoruz. Son olarak, tek argümanlı 14 fonksiyona bağlı bir çift Voss yüzeyinin varlığını ortaya koyuyoruz.

Keywords

• Öklid uzayı
• Voss yüzeyi
• n boyutlu yüzeylerin eşlemeleri

References

1. Bazylev, V. T. (1970). On geometry of differentiable mappings of Euclidean spaces (in Russian), Uch. Zapiski MGPI, 374(1), 28--40.
2. Aliyev, N. Y. (1979). On the geometry of mappings of surfaces of Euclidean spaces (in Russian). Scientific Notes of ASU, A Series of Physical and Mathematical Sciences, 5, 23--29.
3. Aliyev, N. Y. (1983). On one case of mappings of surfaces of codimension two of Euclidean spaces (in Russian). Scientific Notes of ASU, A Series of Physical and Mathematical Sciences, DAN Azerb. SSR, 39(4), 3--7.
4. Aliyev, N. Y. (2020). On mappings of $p$-dimensional surfaces in Euclidean spaces $E_n$. International Electronic Journal of Geometry, 13(1), 17--20.
5. Bazylev, V. T. (1989). Geometry of differentiable manifolds (in Russian), Vysshaya Shkola, Moscow.
6. Aliyev, N., & Aliyev, F. (2025). On the mapping of surfaces of Euclidean spaces. International Online Conference on Algebraic and Geometric Methods of Analysis, Odesa, Ukraine, (p. 3).