Hilbert, Foundations of Mathematics and Intuition

Year 2020, Issue: 52, 113 - 149, 18.07.2020

Özgüç Güven

Abstract

David Hilbert proposed his well-known Hilbert Program in the early 1920s for foundations of mathematics. The purpose of his program was to prove the consistency of mathematics by using the finitary methods and relying on axiomatic system. Thus, riddles and paradoxes related with the foundations of mathematics could be solved. Hilbert considers, formalizing whole mathematics in a consistent finite way depending on axioms, as an effort to develop a proof theory. So much so that any problems which may occur in a mathematical system, including those related to infinity, will be solved. Hilbert begins with finite number of signs and rules and then proceeds to develop various proved consistent statements. From there, he continues to a higher-order mathematics that includes ideal objects. Hilbert's development of the program started in 1899 with the Foundations of Geometry, and completed by The Grounding of Elementary Number Theory in 1931. In this paper, we will exhibit the various stages and attempts of Hilbert to found the numbers. Our thesis states that Hilbert has always maintained an intuitive apprehension in these foundational attempts i.e. Hilbert advocates intuitional insight prior to any logical inference that makes it possible to found the numbers. Although Hilbert did not define himself as a formalist in any of his works, he was named as a formalist because of Brouwer's criticism of him. Hilbert’s emphasis on intuition reveals that a kind of formalism which is a mere play of signs can be associated with him. In this paper, we will also deal with the relations Hilbert established between signs, axioms, logic and intuition.

Keywords

Hilbert, formalism, number, intuition, logic, axiomatic method

Hilbert, Matematiğin Temelleri ve Görü

Abstract

David Hilbert matematiği temellendirmek için Hilbert Programı olarak bilinen yaklaşımını 1920’li yılların başında öne sürer. Bu programın amacı aksiyomlara dayalı temelde kalarak matematiğin tutarlılığının sonlucu yöntemle gösterilmesidir. Böylece matematiğin temellerine ilişkin bilmeceler ve çelişkiler çözülebilecektir. Hilbert tüm matematiği, aksiyomlara dayalı sonlu adımda tutarlı olarak biçimselleştirmeyi bir kanıt kuramı geliştirme çabası olarak ele alır. Öyle ki, sonsuzlukla ilgili olanlar da içerilmek üzere bir matematiksel dizgede ortaya çıkabilecek her türlü sorun ortadan kalkacaktır. Hilbert programının başlangıcına sonlu sayıda im ve bunlara ilişkin kuralları koyar. Buradan içinde ideal nesnelerin de bulunduğu bir üst-matematiğe geçer. Hilbert’in söz konusu programı geliştirmesi 1899 yılında yayınladığı eseri Geometrinin Temelleri’nden başlayıp çeşitli gelişim aşamalarından geçerek 1931’deki eseri Temel Sayı Kuramının Temellendirilmesi’ne kadar sürer. Çalışmamızda anılan dönemdeki metinler üzerinden Hilbert’in matematiği temellendirişinin evrelerini ortaya koyup özellikle sayıyı hangi zeminde kurduğu üzerinde odaklanacağız. Önesüreceğimiz sav ise bu temellendirme süreçlerinde Hilbert’in görü temelli bir kavrayışı hep sürdürdüğüdür. Bir başka deyişle Hilbert sayının temellendirilmesini olanaklı kılan her türlü mantıksal çıkarımı önceleyen görüsel bir kavrayışı savunmaktadır. Bu durum hiç kuşkusuz Hilbert’in ne türlü biçimselcilikle ilgisi olduğu açısından son derece belirleyicidir. Her ne kadar Hilbert, kendisini hiçbir çalışmasında biçimselci olarak tanımlamamış olsa da Brouwer’in kendisine yönelik eleştirilerinden dolayı biçimselci olarak anılmıştır. Görüye ilişkin vurgusu, Hilbert’le ilişkilendirilebilecek bir biçimselciliğin salt imlerin oyunu olarak değerlendirilemeyeceğini ortaya koyar. Bu bağlamda çalışmamız Hilbert’in aksiyomlara dayalı dizgeler, mantık ve görü arasında ne türden bağıntılar kurduğunu da açımlayacaktır.

Keywords

Hilbert, biçimselcilik, görü, sayı, mantık, aksiyomatik yöntem

References

• Bernays, Paul. “Hilbert’s Significance for the Philosophy of Mathematics”. Içinde From Brouwer to Hilbert The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, editör Paolo Mancosu, 189–97. New York: Oxford University Press, 1998.
• Brouwer, L E J. “Die Struktur des Kontinuums”. Içinde Collected Works I, Philosophy and Foundations of Mathematics, 429–40, 1975.
• ———. “Intuitionistische Betrachtungen über den Formalismus”. KNAW Proceedings 31 (1928): 374–79.
• Corry, Leo. David Hilbert and the Axiomatization of Physics (1898-1918). Dordrecht: Springer, 2004.
• ———. Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. Basel: Birkhäuser Basel, 2004.
• Detlefsen, Michael. “On Interpreting Gödel’s Second Theorem”. Journal of Philosophical Logic 8, sayı 1 (1979): 297–313.
• Edwards, C. H. Jr. The Historical Development of the Calculus. New York: Springer, 1979.
• Frege, Gottlob. Philosophical and Mathematical Correspondence. Editör Gottfried Gabriel, Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Christian Thiel, ve Albert Veraart. Çeviren Hans Kaal. Oxford: Basil Blackwell, 1980.
• Hallett, Michael. “Hilbert and Logic”. Québec Studies in the Philosophy of Science 177 (1995): 135–87.
• Heath, Thomas. A History of Greek Mathematics vol 1 : From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press, 1921.
• Hilbert, David. “Axiomatisches Denken”. Içinde David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Band III, 146–56. Springer, 1970.
• ———. “Die Grundlegung der Elementaren Zahlenlehre”. Mathematische Annalen 104, sayı 1 (1931): 485–94.
• ———. “Die Logischen Grundlagen der Mathematik”. Mathematische Annalen 88, sayı 1 (1922): 151–65.
• ———. Grundagen der Geometrie. Leipzig: B. G. Teubner, 1903.
• ———. Mathematische Probleme. Göttingen: Dieterichsche Universitätsbuchhandlung, 1900.
• ———. “Naturerkennen und Logik”. Içinde David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Band III, 378–87. Springer, 1970.
• ———. “Neubegründung der Mathematik”. Içinde David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Band III, 157– 77. Berlin: Julius Springer, 1935.
• ———. “Probleme der Grundlegung der Mathematik”. Mathematische Annalen 102, sayı 1 (1930): 1–9.
• ———. “Über das Unendliche”. Mathematische Annalen, sayı 95 (1926): 161–90.
• ———. “Über den Zahlbegriff”. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 6 (1900): 180–85.
• ———. “Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik”. Içinde Verhandlungen des 3. Internationalen Mathematiker-Kongresses : in Heidelberg vom 8. bis 13. August 1904, editör Adolf Krazer, 174–85. Leipzig: Teubner, 1905.
• ———. “Ueber die Grundlagen der Geometrie”. Mathematische Annalen 56, sayı 3 (1902): 381–422.
• Hilbert, David, ve Paul Bernays. Grundlagen der Mathematik I. Berlin: Springer, 1934.
• Hvidsten, Michael. Exploring Geometry. Boca Raton: CRC Press, 2016.
• Kant, Immanuel. Kritik Der Reinen Vernunft. Hamburg: Felix Meiner, 1956.
• Klein, Felix. Elementary Mathematics from a Higher Standpoint. Çeviren Gert Schubring. C. II: Geomet. Berlin: Springer, 2016.
• Pasch, Moritz. Vorlesungen Über Neuere Geometrie. Leipzig: B. G. Teubner, 1882.
• Plato, Von Jan. “The Development of Proof Theory”. Içinde The Stanford Encyclopedia of Philosophy, editör Edward N. Zalta. Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2018. https://plato.stanford.edu/ archives/win2018/entries/proof-theory-development/.
• Poincaré, Henri. “Mathematics and Logic: II”. Içinde From Kant to Hilbert. A Source Book in the Foundations of Mathematics, editör William Bragg Ewald, 1038–52. Oxford: Oxford University Press, 1996.
• Richard, Zach. “Hilbert’s Program”. Içinde The Stanford Encyclopedia of Philosophy, editör Edward N. Zalta. Metaphysics Research Lab, Stanford University, 2019.
• https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/ entries/hilbert-program/.
• Roselló, Joan. “Hilbert, Göttingen and the Development of Modern Mathematics”. New Castle: Cambridge Scholars Publishing, 2019.
• Sibley, Thomas Q. Thinking Geometrically A Survey of Geometries. Washington: The Mathematical Association of America, 2015.
• Sieg, Wilfried. “Hilbert’s Proof Theory”. Içinde Logic from Russell to Church, editör Dov M. Gabbay ve John Woods. Amsterdam: North-Holland, 2009. S
• obczyk, Garret. New Foundations in Mathematics: The Geometric Concept of Number. New York: Birkhäuser, 2013.