On the Solvability of an Inequality Systems via Polyhedral Convex Set-Valued Mappings

Abstract

The use of set-valued mappings as a basic mathematical tool in solving problems arising in various studies in scientific, technical and other academic disciplines is increasing day by day. For example, one can be found solutions with using set-valued mappings and their relaited theories to some problems that arise in nonlinear analysis, nonlinear programming, mathematical economics and management, optimal control theory, biology, artificial intelligence and many other research areas. In this work, using by polyhedral set-valued mapping we get a sufficient condition for an inequality system given as Ax-By≤0 to be solvable according to y for any x, where x∈R^n,y∈R^m, y≥0,A is an r×n matrix,B is an r×m matrix and Ax_0-By_0≤0 is satisfied for a point (x_0,y_0)∈R^n×R^m. For this purpose firstly, the given inequality system is expressed with a suitable convex set-valued mapping and then the conjugate mapping of that set-valued mapping is determined.

Keywords

• Polyhedral set-valued mappings
• Solutions of linear inequality systems
• Conjugate set-valued mappings
• Convex analysis
• Sufficient conditions

Polihedral Küme-Değerli Dönüşümlerin Yardımıyla Bir Eşitsizlik Sisteminin Çözülebilirliği Üzerine

Abstract

Küme-değerli dönüşümlerin bilimsel, teknik ve diğer akademik disiplinlerdeki çeşitli çalışmalarda ortaya çıkan problemlerin çözümünde temel bir matematiksel araç olarak kullanılması günden güne hızla artmaktadır. Örneğin doğrusal olmayan analiz, doğrusal olmayan programlama, matematiksel ekonomi ve işletme, optimal kontrol teorisi, biyoloji, yapay zeka ve daha birçok araştırma alanlarında ortaya çıkan problemlere küme-değerli dönüşümler ve onlara ait teoriler ile çözüm bulunabilmektedir. Bu çalışmada x∈R^n,y∈R^m, y≥0,A bir r×n matris,B bir r×m matris olmak üzere bir (x_0,y_0)∈R^n×R^m için Ax_0-By_0≤0 eşitsizliğinin gerçekleşmesi durumunda polihedral küme-değerli dönüşümler kullanılarak Ax-By≤0 şeklinde verilen bir eşitsizlik sisteminin herhangi bir x için y’ye göre çözülebilir olabilmesi için bir yeter koşul verilmektedir. Bu amaçla önce, verilen eşitsizlik sistemi uygun bir konveks küme-değerli dönüşüm ile ifade edildi sonra da o küme-değerli dönüşümün eşlenik dönüşümü belirlendi.

Keywords

• Polihedral küme-değerli dönüşümler
• Doğrusal eşitsizlik sistemlerinin çözümleri
• Eşlenik küme-değerli dönüşümler
• Konveks analiz
• Yeter koşullar

References

1. Pshenichnyi, B.N., (1972), Convex Multivalued Mappings and Their Conjugates, Kibernetika, No: 3, s.94-102.
2. Rockafellar, R.T., (1970), Convex Analysis, Princeton University Press.
3. Mahmudov, E.N. and Psenichnyi, B.N., (1979), Polyhedral Mappings, Izvestija Akademii Nauk Azerbaidzanskoi SSR. Serija Fiziko-Tehniceskih i Matematiceskih Nauk, No:2, s. 10-15.
4. Mahmudov, E.N., Değer, Ö., (2005), On an optimization problem described by multivalued mappings and duality, Applied and Computational Mathematics an International Journal, Vol 4 no. 2, s. 192-199.
5. Değer, Ö., (2009), Polihedral Dahil Etmelerde Optimallik İçin Gerek ve Yeter Koşullar, Doktora Tezi, İstanbul Üniversitesi, Türkiye.
6. Değer, Ö., (2011), On Optimality Conditions for a Convex Optimization Problem With Polyhedral Discrete Inclusions. İstanbul Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Fizik Astronomi Dergisi, (N.S.) Vol 3 (2008/09), s. 109-118.
7. Mahmudov, E.N., (2016), Demir, S., Değer, Ö., (2016), Optimization of Third-Order Discrete and Differential Inclusions Described by Polyhedral Set-valued Mappings, Applicable Analysis, An International Journal, Vol 95 , no. 9, s. 1831-1844.
8. Mahmudov, E.N., (2011), Approximation and Optimization of Discrete and Differential Inclusions, Elsevier.

9. Gamkrelidze, R.V., (1978), Principles of Optimal Control Theory, Mathematical Concepts and Methods in Science and Engineering 7, Springer US.
10. Pshenichnyi, B.N., (1980), Convex Analysis and Extremal Problems, Nauka, Moscow,(Russian).