BROCARD-RAMANUJAN BENZERİ ÇEŞİTLİ DENKLEMLER ÜZERİNE

Abstract

Bu çalışmada, Brocard-Ramanujan tipi Diophantine denklemlerin bir benzeri olan m^3=(m+1)!+m denkleminin pozitif tamsayı çözümleri incelenmiştir. Brocard-Ramanujan problemi olarak bilinen n!+1=m^2 denklemi gibi, faktöriyel ve üs içeren yapılar, çözüm kümelerinin sonluluğu açısından önemli teorik sonuçlara zemin hazırlamaktadır. Bu bağlamda incelenen denklem için önce küçük tamsayı değerleri doğrudan denenmiş ve yalnızca m=2 ve m=3 için denklemin sağlandığı görülmüştür. Daha sonra, faktöriyel fonksiyonunun kübik büyümeye kıyasla hızlı artışı dikkate alınarak, daha büyük değerler için eşitliğin sağlanamayacağı öngörülmüş ve bu durum matematiksel tümevarım yöntemiyle ispatlanmıştır. Yapılan tüm hesaplamalar SageMath ve Wolfram Mathematica yazılımlarıyla desteklenmiştir. Sonuç olarak, verilen denklemin pozitif tamsayı çözümleri yalnızca m=2 ve m=3 ile sınırlıdır. Bu durum, faktöriyel terim içeren üstel Diophantine denklemlerde çözüm kümelerinin sonluluğu yönündeki genel literatürle tutarlıdır.

Keywords

• Diophantine denklemler
• Brocard-Ramanujan problemi
• Brocard-Ramanujan benzeri

Thanks

Bu çalışmayı titizlikle okuyup değerlendiren ve katkı sağlayan editör ile hakemlere teşekkür ederiz.

On a Brocard-Ramanujan-Like Equation

Abstract

In this study, we investigate the positive integer solutions of the Diophantine equation 𝑚 3 = ( 𝑚 + 1 ) ! + 𝑚 m 3 =(m+1)!+m which resembles the well-known Brocard–Ramanujan type equations. Equations involving factorial and power terms, such as 𝑛 ! + 1 = 𝑚 2 n!+1=m 2 , are of particular interest due to the rarity of their integer solutions and the implications for number theory. Initially, small positive integers were tested directly, revealing that the equation holds only for 𝑚 = 2 m=2 and 𝑚 = 3 m=3. Considering that the factorial function grows significantly faster than the cubic term, it was conjectured that no further solutions exist. This conjecture was then rigorously confirmed using mathematical induction. All symbolic computations were verified with the aid of SageMath and Wolfram Mathematica software. As a result, it was proven that the only positive integer solutions to the given equation are 𝑚 = 2 m=2 and 𝑚 = 3 m=3. This finding aligns with general results in the literature, which suggest that exponential Diophantine equations involving factorial expressions typically have only finitely many solutions.

Keywords

• Diophantine equations
• Brocard-Ramanujan problem
• Brocard-Ramanujan like

References

1. Alzer, H., & Luca, F. (2017). Diophantine equations involving factorials. Mathematica Bohemica, 142(2), 181-184.
2. Baker, A. (2022). Transcendental number theory. Cambridge University Press.
3. Guy, R. (2004). Unsolved problems in number theory (Vol. 1). Springer Science & Business Media.
4. Luca, F. (2000). Equations involving arithmetic functions of factorials. Divulgaciones Matemáticas, 8(1), 15-23.
5. Nagell, T. (1961). The diophantine equation x^2+7=2^n. Arkiv för Matematik, 4(2), 185-187.
6. Özkan, E., & Uysal, M. (2023). d-Gaussian Fibonacci, d-Gaussian Lucas Polynomials, and their Matrix Representations. Ukrainian Mathematical Journal, 75(4).
7. Tastan, M., Özkan, E., & Shannon, A. (2021). The generalized k-Fibonacci polynomials and generalized k-Lucas polynomials. Notes on Number Theory and Discrete Mathematics, 27(2).
8. Tijdeman, R. (1976). On the equation of Catalan. Acta Arithmetica, 29, 197-209.

9. Uysal, M., Inam, I., & Özkan, E. (2022). A short note on the Pell-Lucas–Eisenstein series. Asian-European Journal of Mathematics, 15(05), 2250219.
10. Yilmaz, N. Ş., Włoch, A., & Özkan, E. (2024). Generalization of the Distance Fibonacci Sequences. Axioms, 13(7), 420.