Merkezi Limit Teoremi’nin Farklı Sürekli Dağılımlar Altında İncelenmesi: Yakınsamayı Etkileyen Faktörlerin Simülasyon Temelli Bir Araştırması

Abstract

Merkezi Limit Teoremi (MLT), istatistik ve olasılık teorisinin temel taşlarından biridir. Bu çalışmada, MLT’nin pratik geçerliliği; Beta, Üstel, Gamma, Log-Normal ve Weibull gibi farklı sürekli dağılımlar üzerinde gerçekleştirilen simülasyonlar aracılığıyla incelenmiştir. Literatürde genellikle örneklem ortalamasının normalliğe yakınsaması genel çerçevede ele alınırken, bu çalışmada yakınsama hızı ve örneklem büyüklüğünün etkisi; varyans, çarpıklık katsayısı, maksimum yaklaşık hata (MaxError) ve Berry–Esseen teoremine dayalı Berry sınırı gibi farklı ölçütler kullanılarak analiz edilmiştir. Simülasyon sonuçları, MLT’nin güvenilirliği ve sınırlılıkları hakkında ayrıntılı bir bakış açısı sunmaktadır. MLT’nin tarihi erken dönem kuramsal çalışmalara dayanmakta olup, zamanla anakütle dağılımı normal olmasa bile örneklem ortalamalarının dağılımının normal eğriye yaklaştığını gösteren güçlü bir araç olarak kabul edilmiştir. Bu özelliği sayesinde MLT; siyaset bilimi, bilgisayar bilimi, psikoloji, tıp araştırmaları ve mühendislik gibi pek çok alanda temel bir kavram haline gelmiştir. Bununla birlikte, MLT’nin yaygın kullanımına rağmen, örneklem büyüklüğü ve çarpıklık gibi faktörlerin yakınsama üzerindeki etkileri uygulamada çoğu zaman yeterince anlaşılmamaktadır. Bu çalışmada farklı sürekli dağılımlar üzerinde simülasyon yöntemleri uygulanmıştır. Böylece klasik ortalama ve varyans ölçütlerine ek olarak ilave kriterler de dikkate alınmıştır. Sonuç olarak, dağılımların normalliğe hangi hızda yaklaştığı ve MLT’nin hangi koşullar altında güvenle uygulanabileceği daha kapsamlı bir şekilde değerlendirilmiştir.

Keywords

• Merkezi Limit Teoremi
• Normal Dağılım
• Çarpıklık
• Simülasyon
• Berry–Esseen Teoremi

Central Limit Theorem under Different Continuous Distributions: A Simulation-Based Investigation of Factors Affecting Convergence

Abstract

The Central Limit Theorem (CLT) is one of the cornerstones of statistics and probability theory. In this study, the practical validity of the CLT was examined through simulations conducted on different continuous distributions such as Beta, Exponential, Gamma, Log-Normal, and Weibull. While the literature generally addresses the convergence of the sample mean to normality in broad terms, in this study, the rate of convergence and the effect of sample size were analyzed using different metrics, including variance, skewness coefficient, maximum approximate error (MaxError), and the Berry bound based on the Berry-Esseen theorem. The simulation results provide a detailed perspective on the reliability and limitations of the CLT. The history of the CLT dates back to early theoretical studies and, over time, it has been recognized as a tool that allows the distribution of sample means to approach the normal curve even when the underlying population is not normal. This property has made the CLT a fundamental concept in various fields, including political science, computer science, psychology, medical research, and engineering. Despite its widespread use, the practical outcomes of the CLT are often not sufficiently understood in terms of the effects of factors such as sample size and skewness on convergence. In this study, simulation methods were applied to different continuous distributions. Consequently, in addition to classical measures of mean and variance, additional criteria were considered. Thus, the rate at which distributions approach normality and the conditions under which the CLT can be reliably applied were evaluated more comprehensively.

Keywords

• Berry-Essen Theorem
• Central Limit Theorem
• Normal Distribution
• Skewness
• Simulation

References

1. Barri MA. A simulation showing the role of central limit theorem in handling non-normal distributions. Am J Educ Res2019; 7(8): 591–598.
2. Burkardt J. The truncated normal distribution. Department of Scientific Computing Website, Florida State University, 2014; 1(35): 58.
3. Kwak SG, Kim JH. Central limit theorem: the cornerstone of modern statistics. Korean J Anesthesiol 2017; 70(2): 144.
4. Lee CM, Kim SA, Jeong JS. A view on the validity of central limit theorem: an empirical study using random samples from uniform distribution. Commun Stat Appl Methods 2014; 21(6): 539–559.
5. Limpert E, Stahel WA, Abbt M. Log-normal distributions across the sciences: keys and clues. BioScience 2001; 51(5): 341–352.
6. Nolan SA, Heinzen T. Statistics for the Behavioral Sciences. New York, NY, USA: Macmillan, 2011.
7. Plenar F. A history of the central limit theorem. Seminar Paper, Technical University of Vienna, 2019.
8. Sarısoy EE, Gamgam H. Sağa çarpık dağılım ortalamaları için bazı testlerin kullanımı ve karşılaştırmaları. İstatistik Araştırma Dergisi 2010; 7(2): 45–57.

9. Teimouri M, Hoseini SM, Nadarajah S. Comparison of estimation methods for the Weibull distribution. Statistics 2013; 47(1): 93–109.
10. Uysal İ, Kılıç A. Normal dağılım ikilemi. Anadolu J Educ Sci Int 2022; 12(1): 220–248.
11. Winters K. A new application of the central limit theorem. Selected Honors Theses, Southeastern University, USA, 2022, p. 158.
12. Yeler D. Genelleştirilmiş doğrusal modellerde etkili gözlemlerin incelenmesi ve gamma dağılımı uygulaması. Yüksek Lisans Tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi, Türkiye, 2019.
13. Zhang X, Astivia OLO, Kroc E, Zumbo BD. How to think clearly about the central limit theorem. Psychol Methods 2023; 28(6): 1427.