On the Cyclic and-Constacyclic Codes over the Quaternion Rings and Their Applications

Abstract

In this paper, the structures of linear codes over the quaternion rings with coe cient from Zp, Hp = Zp+Zpi+Zpj+Zpk are given, where p is an odd prime, i2 = j2 = k2 = p 1 and ij = (p 1)ji = k. The quaternion rings over Zp decompose into two parts form Zp + iZp(or Zp + jZp or Zp +kZp) with idempotent coe cients, depending on selecting a central orthogonal idempotent pair. The structures of cyclic and-constacyclic codes over Hp are determined, where p 3(mod 4), p is an odd prime, is a unit in Hp and some examples are given. The duals of linear codes over Hp are investigated. The parameters of quantum codes are obtained from cyclic codes and-constacyclic over Hp.

Keywords

• Quaternion ring
• quantum codes
• cyclic codes
• constacyclic codes

Kuaterniyon Halkaları Üzerindeki Devirli ve labda-Constacyclic Kodlar ve Uygulamaları

Abstract

Bu çalışma, katsayıları \( Z_p \) halkasında yer alan kuaterniyon halkaları üzerindeki doğrusal kodların yapısını incelemektedir. Burada \( H_p = Z_p + Z_p i + Z_p j + Z_p k \) olup, \( p \) tek bir asal sayı, \( i^2 = j^2 = k^2 = p - 1 \) ve \( ij = (p - 1)ji = k \) şeklinde tanımlanmıştır. \( Z_p \) üzerindeki kuaterniyon halkalarının, merkezî ve birbirine dik idempotent bir çift seçimine bağlı olarak, \( Z_p + iZ_p \) (veya \( Z_p + jZ_p \) ya da \( Z_p + kZ_p \)) şeklinde iki kısma ayrıldığı gösterilmiştir. \( p \equiv 3 \pmod{4} \) olacak şekilde tek bir asal sayı olmak üzere, \( H_p \) üzerindeki devirli (cyclic) ve \( \lambda \)-constacyclic kodların yapıları belirlenmiş, bazı örnekler verilmiş ve doğrusal kodların dual kodları incelenmiştir. Son olarak, \( H_p \) üzerindeki devirli ve \( \lambda \)-constacyclic kodlardan kuantum kodlarının parametreleri elde edilmiştir.

Keywords

• Kuaternion halkası
• kuantum kodlar
• devirli kodlar
• constacyclic kodlar

References

1. Akbiyik, S., & Ersoy, B. A. (2017). Cyclic codes over a non-commutative ring. In 2017 7th International Conference on Modeling, Simulation, and Applied Optimization (ICMSAO). IEEE.
2. Aristidou, M., & Demetre, D. (2012). Idempotent elements in quaternion rings over Zp. International Journal of Algebra, 6, 249–254.
3. Calderbank, A. R., Rains, E. M., Shor, P. M., & Sloane, N. J. A. (1998). Quantum error correction via codes GF(4). IEEE Transactions on Information Theory, 44, 1369–1387.
4. Cheraghpour, H., & Ghosseiri, M. N. (2019). On the idempotents, nilpotents, units and zero-divisors of finite rings. Linear and Multilinear Algebra, 67, 327–336.
5. Dougherty, S. T., & Andre, L. (2016). Euclidean self-dual codes over non-commutative Frobenius rings. Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing, 27, 185–203.
6. Kandasamy, W. B. V. (2000). On the finite Quaternion rings and skew fields. Acta Ciencia Indica, XXVI(2), 133–135.
7. Miguel, C. J., & Serodio, R. (2011). On the structure of quaternion rings over Zp. International Journal of Algebra, 5, 1313–1325.
8. Tan, P. L., & Sison, V. (2021). Quaternions over Galois rings and their codes. arXiv. https://arxiv. org/abs/2109.00735