A Unified Study of Fubini-Based Apostol-Type Polynomials

Abstract

In this study, a generalized class of polynomials, called the Fubini-based Apostol-type polynomials, is introduced via an appropriate generating function. Several fundamental properties of these polynomials are obtained, including explicit representations, recurrence relations, and differential formulas. Various identities and theoretical results are established, revealing connections between these polynomials and certain special functions. In addition, multiplication and addition theorems are derived, providing natural extensions of several well-known polynomial identities. The results presented here enrich the theory of Apostol-type and Fubini-related polynomials and may serve as a basis for further investigations in combinatorics, special functions, and related areas of mathematical analysis. Possible directions for future research are also briefly discussed.

Keywords

• Fubini-based Apostol type polynomials
• generating function
• multilinear and multilateral generating functions
• recurrence relations

Supporting Institution

No funding was received for this work.

Ethical Statement

This study is entirely theoretical and does not involve human participants, animals, or personal data. Therefore, ethical approval was not required. The authors declare that this manuscript has been prepared in accordance with the principles of research and publication ethics.

Thanks

The authors sincerely thank the Editor and the anonymous reviewers for their valuable comments and suggestions.

Fubini Tabanlı Apostol-Tip Polinomları Üzerine Bir İnceleme

Abstract

Bu çalışmada, Fubini tabanlı Apostol-tip polinomları olarak adlandırılan genelleştirilmiş bir polinom sınıfı, uygun bir doğurucu fonksiyon aracılığıyla tanıtılmaktadır. Bu polinomların açık gösterimleri, rekürans bağıntıları ve türev formülleri dâhil olmak üzere çeşitli temel özellikleri elde edilmektedir. Ayrıca, bu polinomlar ile belirli özel fonksiyonlar arasındaki ilişkileri ortaya koyan çeşitli özdeşlikler ve teorik sonuçlar sunulmaktadır. Bunun yanı sıra, çarpım ve toplama teoremleri türetilerek, iyi bilinen birçok polinom özdeşliğinin doğal genellemeleri elde edilmektedir. Elde edilen sonuçlar, Apostol-tip ve Fubini tabanlı polinomlar teorisini zenginleştirmekte olup, kombinatorik, özel fonksiyonlar ve matematiksel analizin ilgili diğer alanlarında yapılacak gelecekteki araştırmalar için bir temel oluşturma potansiyeline sahiptir. Ayrıca, gelecekte gerçekleştirilebilecek araştırmalara yönelik olası çalışma alanları da kısaca tartışılmaktadır.

Keywords

• Fubini Tabanlı Apostol-Tip Polinomlar
• doğurucu fonksiyon
• multilineer ve multilinear doğurucu fonksiyon
• rekürans bağıntıları.

Supporting Institution

Bu çalışma için herhangi bir kurum veya kuruluş tarafından finansal destek sağlanmamıştır.

Ethical Statement

Bu çalışma tamamen kuramsal nitelikte olup herhangi bir insan katılımcısı, deney hayvanı veya kişisel veri içermemektedir. Bu nedenle etik kurul onayı gerekmemektedir. Yazarlar, bu çalışmanın hazırlanması ve yayımlanması sürecinde bilimsel araştırma ve yayın etiği ilkelerine uyduklarını beyan ederler.

Thanks

Yazarlar, değerli görüş ve önerileriyle bu çalışmanın geliştirilmesine katkı sağlayan hakemlere ve editöre teşekkür ederler.

References

1. [1] I. Kucukoglu, Unification of the generating functions for Sheffer type sequences and their applications, Montes Taurus Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol:5, No.2 (2023), 71-88.
2. [2] S. Khan, M.W. Al-Saa and R. Khan, Laguerre-based Appell polynomials: properties and application, Math. Comput. Modeling, Vol:52 (2010), 247-259. https://doi.org/10.1016/j.amc.2011.06.016.
3. [3] H. Ozden, Y. Simsek, H.M. Srivastava, A unified presentation of the generating functions of the generalized Bernoulli, Euler and Genocchi polynomials, Comput. Math. Appl., Vol:60 (2010), 2779-2787.
4. [4] T. M. Apostol, On the Lerch zeta function, Pacific J. Math., Vol:1 (1951), 161-167.
5. [5] T. Kim, D. S. Kim and G.-W. Jang, A note on degenerate Fubini polynomials, Proc. Jangjeon Math. Soc., Vol:20, No.4 (2017), 521-531.
6. [6] G. Muhiuddin, W. A. Khan, U. Duran, Two-Variable Type 2 Poly-Fubini Polynomials, Mathematics, Vol:9, No.3 (2021), 281, 1-13.
7. [7] M. Agca, N. Özmen, Miscellaneous Properties of Generalized Fubini Polynomials, Communications in Advanced Mathematical Sciences, Vol:6, No.1 (2023), 19-30.
8. [8] E. Erkus-Duman, A new perspective on generalized Laguerre polynomials, Demonstratio Mathematica, Vol:58, No.1 (2025), 1-14.

9. [9] Q. -M. Luo, Apostol-Euler polynomials of higher order and the Gaussian hypergeometric function, Taiwanese J. Math., Vol:10 (2006), 917-925.
10. [10] Q. -M. Luo, Extension for the Genocchi polynomials and its Fourier expansions and integral representations, Osaka J. Math., Vol:48 (2011), 291-309.
11. [11] Horadam, A. F., Genocchi Polynomials, Springer, Dordrecht, 1991.
12. [12] Q. -M. Luo, H. M. Srivastava, Some generalizations of the Apostol-Bernoulli and Apostol-Euler polynomials, J. Math. Anal. Appl., Vol:308 (2005), 290-302.
13. [13] F. Qi, On generalized Fubini polynomials, HAL preprint (2018), available online at https://hal.archives-ouvertes.fr/hal01853686v1.
14. [14] D. S. Kim, T. Kim, H.-I. Kwon, and J. -W. Park, Two variable higher-order Fubini polynomials, J. Korean Math. Soc., Vol:55, No.4 (2018), 975-986. Available online at https://doi.org/10.4134/JKMS.j170573.
15. [15] R. Xua, Y. Maa, T. Kim, Y. Hei, Probabilistic bivariate Fubini polynomials and probabilistic degenerate bivariate Fubini polynomials, Filomat, Vol:39, No.35 (2025), 12635-12646. https://doi.org/10.2298/FIL2535635X.