Gödel'in Tamamlanamazlık Teoremleri Bakımından Biçimsel Dillerde İspatlanabilirlik-Doğruluk İlişkisi

Abstract

Bu makalede Gödel’in tamamlanamazlık teoremlerinden hareketle biçimselciliğin sınırlarını göstermeyi amaçlıyoruz. Çalışmamızdaki en temel tartışma biçimsel olarak ispat edilebilirlik ile doğruluk arasındaki gerilime dayanmaktadır. Frege’nin aritmetiği mantığa indirgeme projesiyle başlayan ve Hilbert’in biçimselcilik projesiyle devam eden çalışmalar matematiğe sağlam bir temel oluşturma amacını taşıyordu. Fakat Gödel bazı önermelere biçimsel olarak karar verilemeyeceğini ispatlayınca Hilbert’in biçimselcilik projesinin kuşatıcılığı da darbe almış oldu. Diğer taraftan Gödel’in teoremleri ispatı verilemeyen ama yine de doğruluğundan bahsedilebilen önermelerin olduğunu gösterdiği için ispatlanabilirlik-doğruluk tartışmasını başlattı. Çalışmamızda Gödel’in teoremlerine dayanarak biçimsel bir dilde ispat edilebilirliğin sınırlarını göstermeye çalışıyoruz. Böylece çalışmamız biçimsel olarak ispat edilebilirliğin doğruluğu kuşatamadığı sonucuna varmaktadır.

Keywords

• matematiksel paradoks
• Gödel
• Hilbert
• doğruluk
• karar verilemezlik
• biçimselcilik
• tamamlanamazlık teoremleri
• ispat edilebilirlik

The Provability-Truth Relation in Formal Languages in Terms of Gödel's Incompleteness Theorems

Abstract

In this article, we try to show the limits of formalism based on Gödel's incompleteness theorems. The most fundamental debate in our study is shaped by the tension between formal provability and truth. The studies that started with Frege's project to reduce arithmetic to logic and continued with Hilbert's formalist program aimed to establish a solid foundation for mathematics. But when Gödel proved that some propositions could not be decided formally, the pervasiveness of Hilbert’s formalist program took a hit. On the other hand, Gödel's theorems initiated a discussion on the relation between provability and truth, since it showed that there were propositions for which a proof could not be provided, but nonetheless were said to be true. In our study, we try to show the limits of provability in a formal language based on Gödel’s theorems. Thus, our study concludes that formal provability could not encompass reality.

Keywords

• mathematical paradox
• Gödel
• Hilbert
• truth
• undecidability
• formalism
• incompleteness theorems
• provability

References

1. Barker, S. F. (2017). Matematik Felsefesi. Çev. Yücel Dursun. Ankara: İmge Kitabevi Yayınları.
2. Benacerraf, P. (2004). “Matematiksel Hakikat.” Bekir S. Gür (Der.), Matematik Felsefesi içinde (s.239-265). Ankara: Orient Yayınları.
3. Cantor, G. (1874). “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffs Aller Reellen Algebraischen Zahlen.” Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77: 258-262.
4. Casti, J. L. & Depauli, W. (2004). Gödel. Çev. Ergün Akça. İstanbul: Kabalcı Yayınevi.
5. Çevik, A. (2019). Matematik Felsefesi ve Matematiksel Mantık. İstanbul: Nesin Yayıncılık.
6. Çitil, A. A. (2016). “Saf Görü, Biçimsel Dizge, Turing Makinesi ve Frege’nin Kavram-Yazısı.” Felsefi Düşün, 7 (Ekim): 45- 69.
7. Çitil, A. A. (2012). Matematik ve Metafizik Kitap 1: Sayı ve Nesne. İstanbul: Alfa Yayınları.
8. Field, H. (2004). “Matematikte Realizm ve Karşı-Realizm.” Bekir S. Gür (Der.), Matematik Felsefesi içinde (s.265-299). Ankara: Orient Yayınları.

9. Frege, G. (2008). Aritmetiğin Temelleri: Sayı Kavramı Üzerine Mantıksal-Matematiksel Bir İnceleme. Çev. H. Bülent Gözkan, İstanbul: Yapı Kredi Yayınları.
10. Goldstein, R. (2018). Gödel’in Tamamlanmamışlık Kuramı. Çev. Sevcan Seçkin. İstanbul: Alfa Yayınları.
11. Gödel, K. (2010). Principia Mathematica ve İlişkili Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine I. Çev. Özge Ekin. İstanbul: Boğaziçi Üniversitesi Yayınevi.
12. Gödel, K. (2004). “Cantor’un Süreklilik Problemi Nedir?” Bekir S. Gür (Der.), Matematik Felsefesi içinde (s.217-239). Ankara: Orient Yayınları.
13. Gür, B. S. (2006). “Bir Matematik Filozofu Olarak Kurt Gödel.” Matematik Dünyası, 70: 77-83.
14. Gür, B. S. (2012). Matematik Belası Üzerine: Matematik Felsefesinde Köşe Taşları. İstanbul: Nesin Yayınevi.
15. Heijenoort, J. Van. (1967). From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Cambridge: Harvard University Press.
16. Murawski, R. (2020). "Proof vs. Truth in Mathematics." Studia Humana, 9 (3-4): 10-18.
17. Nabiyev, V. V. (2007). Algoritmalar. Ankara: Seçkin Yayıncılık.
18. Nagel, E. ve Newman, J. R. (1994). Gödel Kanıtlaması. Çev. Bülent Gözkan, İstanbul: Sarmal Yayınevi.
19. Parsons, C. (2014). “Platonism and Mathematical Intuition in Kurt Gödel’s Thought.” Philosophy of Mathematics In The Twentieth Century içinde, Cambridge: Harvard University Press.
20. Russell, B. (1919). Introduction to Mathematical Philosophy. London: George Allen & Unwin Ltd.
21. Sertöz, A. S. (2019). Öklid’in Elemanları. Ankara: TUBİTAK Popüler Bilim Kitapları.
22. Yıldırım. C. (2017). Matematiksel Düşünme. İstanbul: Remzi Kitabevi.
23. Zach, R. (2019). "Hilbert’s Program." E. N. Zalta (Der.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy içinde. Alındığı URL: http://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries/hilbert-program/