SOLVING A TYPE OF FUZZY LINEAR SYSTEMS OF DIFFERENTIAL EQUATIONS

Abstract

In this study, a type of fuzzy linear systems of differential equations (FLSDE) is analyzed. The dynamics of the system is definite (crisp) but initial value is a fuzzy set the alpha-cuts of which are ellipsoids. Many practice problems are modeled with FLSDE naturally. For example, the motion equation of a satellite, a free-falling body or a charged particle is definite, but its initial position and velocity are usually uncertain. In the researches made up to now, FLSDE the initial value of which is given with a vector of fuzzy numbers is analyzed. It means that each component of the initial position vector has independent uncertainty. Such an assumption simplifies soft calculations, but it causes either serious data loss or excessive data handling in fuzzy model. For example, in two-dimensional case, approximation of a circle with the most appropriate square (or, in the more general case, approximation of an ellipse with the most appropriate rectangle) will leave out the regions that are necessary to examine or vice versa. The initial value given as a fuzzy ellipsoid makes solution of FLSDE significantly difficult and impossible to apply the methods proposed in the previous researches. In this study, a method of solution for such type of FLSDE is suggested. The method is based on the fact that a linear transformation maps an ellipsoid to another ellipsoid. At any time the system's solution constitutes a fuzzy set, alpha-cuts of which are nested ellipsoids. The suggested approach and method of solution were explained on different examples.

Keywords

• Fuzzy linear system of differential equations, fuzzy set, linear transformation, fuzzy number, ellipse, ellipsoid,

BYR TYP BULANIK DO?RUSAL DYFERANSYYEL DENKLEM SYSTEMYNYN ÇÖZÜMÜ

Abstract

Bu çaly?mada; ba?langyç de?eri, alfa-kesitleri elipsoitler olan bir bulanyk küme ile verilen ama dinami?i kesin (belirli) olan bulanyk do?rusal diferansiyel denklem sistemi (BDDDS) incelenmi?tir. Birçok uygulama probleminin, BDDDS ile modellenmesi do?aldyr. Örne?in, bir uydunun, serbest dü?en bir cismin veya elektriksel alan etkisinde yüklü bir parçacy?yn hareket denklemi belirlidir ama ba?langyç konumu ve hyzy genelde belirsizlik içermektedir. Bu güne kadar yapylan ara?tyrmalarda ba?langyç de?eri, bulanyk sayylar vektörü ile verilen BDDDS incelenmi?tir. Bu da cismin ba?langyç konum vektörünün her bir bile?eninin ba?ymsyz belirsizli?e sahip olmasy demektir. Böyle bir varsayym, esnek hesaplamalary önemli ölçüde kolayla?tyrmaktadyr, fakat bulanyk modelin ciddi boyutlarda veri kaybyna u?ramasyna veya veri fazlaly?y ta?ymasyna neden olmaktadyr. Örne?in, 2 boyutlu durumda dairenin en uygun kare ile yakla?tyrylmasy (veya daha genel durumda elipsin en uygun dikdörtgenle yakla?tyrylmasy), ya incelenmesi gereken bazy bölgeleri dy?aryda byrakacaktyr ya da gereksiz bölgelerin incelenmesini gerektirecektir. Ba?langyç de?erin bulanyk elipsoitte bulunmasy, BDDDS çözümünü önemli derecede zorla?tyrmakta ve ?imdiye kadar yapylan çaly?malardaki yöntemlerin uygulanmasyny imkansyz kylmaktadyr. Bu çaly?mada söz konusu tipten olan BDDDS için çözüm yöntemi önerilmi?tir. Yöntem, do?rusal dönü?ümün bir elipsoidi, ba?ka bir elipsoide dönü?türmesi gerçe?ine dayanmaktadyr. Her bir zaman anynda sistemin çözümü, alfa-kesitleri iç içe konumlanmy? elipsoitler olan bulanyk bir küme ile ifade edilmektedir. Önerilen yakla?ym ve çözüm yöntemi çe?itli örnekler üzerinde açyklanmy?tyr.

Keywords

• Bulanyk do?rusal diferansiyel denklem sistemi, bulanyk küme, do?rusal dönü?üm, bulanyk sayy, elips, elipsoit,