Sayısal Yarı Gruplara İlişkin Kombinasyonel İçgörüler: Kale Yerleşimleri ve Lah Sayıları

Abstract

Bu makale, Young diyagramları, kale polinomları ve Lah sayıları merceğinden sayısal yarıgruplar ve sayma kombinasyonları arasındaki etkileşimi araştırır. Belirli bir sayısal yarıgrup S için, S’nin boşluk kümesinden oluşturulmuş bir Young diyagramı ilişkilendiririz. Daha sonra bu diyagrama karşılık gelen kale polinomunu hesaplar ve katsayılarını analiz ederiz. Bu katsayıların, sıralı bölümlemeleri sayan Lah sayılarıyla güçlü bir bağlantı gösterdiği gözlemlenir. Yaklaşımımız, sayısal yarıgrup boşluklarının yeni bir kombinatoryal yorumunu sunar ve cebirsel ve sayma kavramları arasında yeni yapısal bağlantılar ortaya koyar.

Keywords

• Lah sayıları
• sayısal yarıgruplar
• kale polinomları
• Young diyagramları.

Project Number

No

Combinatorial Insights into Numerical Semigroups: Rook Placements and Lah Numbers

Abstract

This paper investigates the interplay between numerical semigroups and enumerative combinatorics through the lens of Young diagrams, rook polynomials, and the Lah numbers. For a given numerical semigroup S, we associate a Young diagram constructed from the gap set of S. We then compute the rook polynomial corresponding to this diagram and analyze its coefficients. It is observed that these coefficients exhibit a strong connection with the Lah numbers, which count ordered partitions. Our approach introduces a new combinatorial interpretation of numerical semigroup gaps and reveals novel structural links between algebraic and enumerative concepts.

Keywords

• Lah numbers
• numerical semigroups
• rook polynomials
• Young diagrams.

Supporting Institution

No

Project Number

No

Ethical Statement

Ethical declaration is not required

Thanks

No

References

1. Rosales JC, García-Sánchez PA. Numerical Semigroups. New York, NY, USA: Springer, 2009.
2. Kirfel C, Pellikaan R. The minimum distance of codes in an array coming from telescopic semigroups. IEEE Trans Inf Theory 1995; 41(6): 1720-1732.
3. Keith WJ, Nath R. Partitions with prescribed hooksets. arXiv preprint 2010; arXiv:1011.1945
4. Constantin H, Houston-Edwards B, Kaplan N. Numerical sets, core partitions, and integer points in polytopes. Combinatorial and Additive Number Theory II. Ed. Nathanson MB. New York: Springer International Publishing, 2017; 99-127.
5. Süer M, Yeşil M. Symmetric and pseudo-symmetric numerical semigroups via Young diagrams and their semigroup rings. J Korean Math Soc 2021; 58(6):1367-1383.
6. Riordan J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York, NY, USA: Wiley Press, 1958.
7. Guo BN, Qi F. Six proofs for an identity of the Lah numbers. Online Journal of Analytic Combinatorics Press 2015; 10: 5 pages.
8. Haglund J. q-Rook polynomials and matrices over finite fields. Adv Appl Math 1998; 20(4): 450–487.

9. Josuat-Vergès M. Rook placements in Young diagrams and permutation enumeration. Advances in Applied Mathematics 2011; 47(1): 1-22.
10. Süer M, Sezgin MŞ. The rook polynomials of almost symmetric Arf numerical semigroups. Communications in Algebra 2025; 53(10): 4063–4080.
11. Süer M, Yeşil M. Special subdiagrams of Young diagrams and numerical semigroups. Turkish Journal of Mathematics 2024; 48(2): 346-359.
12. Tankosic AZ. The (l, r)-Lah numbers. Journal of Integer Sequences 2023; 26(2): 16 pages.
13. Tutaş N, Karakaş Hİ, Gümüşbaş N. Young tableaux and Arf partitions. Turkish Journal of Mathematics 2019; 43(1): 448-459.
14. Tankosic AZ. The (l, r)-Lah numbers. Journal of Integer Sequences 2023; 26(2): 16 pages.
15. Petkovšek M, Pisanski T. Combinatorial interpretation of unsigned Stirling and Lah numbers. Pi Mu Epsilon J. 2007; 12: 417–424.