Vibration Analysis of Timoshenko Beams Under General Elastic Boundary Conditions by Using Fourier Series

Abstract

In this study, the free vibration analysis of beams with general elastic boundary conditions is investigated based on Timoshenko beam theory. This theory considers effect on elastic curve.  So, this theory has more accurate result than Euler-Bernoulli beam theory. In this study, lateral displacement function is chosen as a Fourier cosine series.  Similarly, slope function is chosen as a Fourier sine series.  These functions are used in the equation of motion to calculate the Fourier coefficients.  Then Stoke transformation is applicated to boundary conditions to obtain to the linear equations.  A coefficients matrix is created by using the linear systems of equations.  The eigenvalues of this coefficient matrix gives the angular frequencies.  Results of this study are compared with other studies in the literature. Moreover, calculated results are presented in a series of figures and tables. 

Keywords

• Timoshenko beam theory,Free vibration analysis,Stoke transformation,Fourier series.

TIMOSHENKO KİRİŞLERİNİN GENEL ELASTİK SINIR KOŞULLARINDA FOURİER SERİLERİ KULLANILARAK TİTREŞİM ANALİZİ

Abstract

bu çalışmada kirişlerin genel elastik sınır koşullarında titreşim analizi, Timoshenko kiriş teorisiyle incelenmiştir. Timoshenko kiriş teorisi kayma etkilerinin de elastik eğriye katkısının dikkate alındığı bir teori olup, Euler-Bernoulli kiriş teorisine göre daha doğru sonuçlar vermektedir. Problemin çözümünde yer değiştirme fonksiyonu olarak Fourier sinüs serisi seçilmiştir. Dönme fonksiyonu olarak ise Fourier kosinüs serileri seçilmiştir. Seçilen bu fonksiyonlar problemi yöneten denklemlerde yerine yazılarak; Fourier katsayıları hesaplanmıştır. Modeli kurulan kiriş için Timoshenko kiriş teorisine göre sınır koşulları tespit edilmiştir. Bulunmuş olan Fourier katsayıları ve Stoke dönüşümüyle elde edilmiş yüksek mertebeden türevler yardımıyla; lineer diferansiyel denklem takımları elde edilmiştir. Bu denklemlerin katsayılar matrisi oluşturulmuştur ve katsayılar matrisinin determinantından açısal frekanslar elde edilmiştir. Bulunan sonuçlar litaretürde bulunan diğer sonuçlar ile karşılaştırılmış, değerlendirilmiş, tablolar ve grafikler halinde sunulmuştur.  

Keywords

• Timoshenko kiriş teorisi,Serbest titreşim analizi,Stoke dönüşümü

References

1. Banerjee, J. R. (1998). Free vibration of axially loaded composite Timoshenko beams using the dynamic stiffness matrix method, Computres & Structures, 69, 197-208. doi:10.1016/S0045-7949(98)00114-X
2. Bozyiğit, B., Çatal, S. and Çatal H. H. (2015) Timoshenko kirişlerinin serbest titreşim analizinin diferansiyel transformasyon methodu ile incelenmesi, 3. Türkiye Deprem Mühendisliği ve Sismoloji Konferansı, D.E.Ü., İzmir.
3. Demirdag, O. and Yesilce, Y. (2011). Solution of free vibration equation of elastically supported Timoshenko columns with a tip mass by differential transform method, Advances in Engineering Software, 42(10), 860-867. doi: 10.1016/j.advengsoft.2011.06.002
4. De Rosa, M. A. (1995) Free vibrations of Timoshenko beams on two-parameter elastic foundation, Computers & Structures, 57(1), 151-156. doi: 10.1016/0045-7949(94)00594-S
5. Develi, A. G. (2007). Elastik zemin üzerine oturan Timoshenko kirişlerinde titreşim problemi, Yüksek Lisans Tezi, İstanbul Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, İstanbul.
6. Farghaly, S. H. (1994). Vibration and stability analysis Timoshenko beams with discontinuities in cross-section, Journal of Sound and Vibration, 174, 591-605. doi: 10.1006/jsvi.1994.1296
7. Gül, U. and Aydoğdu, M. (2015). Elastik zemin üzerinde oturan Timoshenko kirişlerinde dalga yayınımı, Uluslararası Katılımlı 17. Makina Teorisi Sempozyumu, İzmir.
8. Kim, H. K. and Kim, M. S. (2001). Vibration of beams with generally restrained boundary conditions using Fourier series, Journal of Sound and Vibration, 245(5), 771-784. doi: 10.1006/jsvi.2001.3615

9. Kocatürk, T. and Şimşek, M. (2005). Free vibration analysis of elastically supported Timoshenko beams, Sigma, (3) 79-93. Doi: 53A40, 74H45.
10. Yesilce, Y. and Catal, H. H. (2011). Solution of free vibration equations of semi-rigid connected Reddy-Bickford beams resting on elastic soil using the differential transform method, Archive of Applied Mechanics, 81(2), 199-213. doi: 10.1007/s00419-010-0405-z
11. Zhou, D. (2001). Free vibration of multi-span Timoshenko beams using static Timoshenko beam functions, Journal of Sound and Vibration, 241, 725-734.
12. Wolfram Mathematica