Cartan Sayı Matrisleri için Kompleks Adjoint Gösterimler ve Özdeğer Teorisi

Abstract

Cartan sayılar, karma hiperbolik--nilpotent yapıya ve belirsiz bir kuadratik karaktere sahip dört boyutlu bir reel cebir oluşturur; bu durum, indüklenen modülün bir norm tanımlamasını engeller ve matris teorilerini klasik hiperkompleks sistemlerinkinden ayırır. Bu çalışmada, $\mathbb{S}$ ile $M_{2}(\mathbb{C})$'nin Hermit-tipi bir alt cebiri arasında bir cebir izomorfizması kuran karmaşık $2\times 2$ bir gösterim tanıtarak Cartan sayılar cebiri üzerindeki matrisler için sistematik bir çerçeve geliştiriyoruz. Bu gösterime dayanarak, kompleks adjoint matris $\Xi_{\mathbf{K}}$'yi tanımlıyor, $\Xi_{\mathbf{K}\mathbf{M}}=\Xi_{\mathbf{K}}\Xi_{\mathbf{M}}$ özdeşliğini ispatlıyor ve $\mathbf{K}$'nin tersinirliğinin $\Xi_{\mathbf{K}}$'nin tersinirliğine eşdeğer olduğunu gösteriyor; bu da çarpımsallık ve benzerlik değişmezliği özelliklerine sahip bir $q$-determinantın tanımlanmasına yol açmaktadır. Ayrıca Cartan sayı matrislerinin ve matris kalemlerinin sağ özdeğerlerini ve genelleştirilmiş sağ özdeğerlerini inceliyor; reel olmayan Cartan özdeğerlerinin sonsuz benzerlik yörüngeleri oluşturduğunu ve $\Xi_{\mathbf{K}}$'nin karmaşık spektrumunun $\mathbb{C}$ içindeki özdeğerleri tam olarak karakterize ettiğini gösteriyoruz.

Keywords

• Cartan sayı matrisleri
• q-determinantı
• Kompleks adjoint matris
• Genelleştirilmiş özdeğerler

Supporting Institution

Bu araştırma herhangi bir dış finansman almamıştır.

Project Number

Not applicable

Ethical Statement

Bu çalışma için etik onay gerekmedi.

Thanks

Yazarlar, makalenin kalitesini önemli ölçüde artıran değerli yorumları ve yapıcı önerileri için hakemlere ve editörlere teşekkür eder.

Complex Adjoint Representations and Eigenvalue Theory for Cartan Number Matrices

Abstract

Cartan numbers form a four-dimensional real algebra with a mixed hyperbolic--nilpotent structure and an indefinite quadratic character, which precludes the induced modulus from defining a norm and distinguishes their matrix theory from that of classical hypercomplex systems. In this paper, we develop a systematic framework for matrices over the algebra of Cartan numbers by introducing a complex $2\times 2$ representation that establishes an algebra isomorphism between $\mathbb{S}$ and a Hermitian-type subalgebra of $M_{2}(\mathbb{C})$. Based on this representation, we define the complex adjoint matrix $\Xi_{\mathbf{K}}$, prove the identity $\Xi_{\mathbf{K}\mathbf{M}}=\Xi_{\mathbf{K}}\Xi_{\mathbf{M}}$, and show that the invertibility of $\mathbf{K}$ is equivalent to that of $\Xi_{\mathbf{K}}$, leading to the definition of a $q$-determinant with multiplicativity and similarity invariance properties. We further investigate right eigenvalues and generalized right eigenvalues of Cartan number matrices and matrix pencils, demonstrating that non-real Cartan eigenvalues generate infinite similarity orbits and that the complex spectra of $\Xi_{\mathbf{K}}$ fully characterize eigenvalues in $\mathbb{C}$.

Keywords

• Cartan number matrices
• q-determinant
• Complex adjoint matrix
• Generalized eigenvalues

Supporting Institution

This research received no external funding.

Project Number

Not applicable

Ethical Statement

Ethical approval was not required for this study.

Thanks

The authors are thankful to the reviewers and the editors for their valuable comments and constructive suggestions, which significantly improved the quality of the manuscript.

References

1. [1] S.S. Ahmad and I. Ali, Bounds for eigenvalues of matrix polynomials over quaternion division algebra, Adv. Appl. Clifford Algebras 26 (4), 1095–1125, 2016.