This study proves that the Diophantine equation $\left(9d^2+1\right)^x+\left(16d^2-1\right)^y=(5d)^z$ has a unique positive integer solution $(x,y,z)=(1,1,2)$, for all $d>1$. The proof employs elementary number theory techniques, including linear forms in two logarithms and Zsigmondy's Primitive Divisor Theorem, specifically when $d$ is not divisible by $5$. In cases where $d$ is divisible by $5$, an alternative method utilizing linear forms in p-adic logarithms is applied.
Birincil Dil | İngilizce |
---|---|
Konular | Cebir ve Sayı Teorisi |
Bölüm | Araştırma Makalesi |
Yazarlar | |
Yayımlanma Tarihi | 30 Haziran 2024 |
Gönderilme Tarihi | 6 Mayıs 2024 |
Kabul Tarihi | 26 Haziran 2024 |
Yayımlandığı Sayı | Yıl 2024 Sayı: 47 |
|