Optimality Conditions of Given Set-valued Optimization Problems with Respect to Set Optimization by Using Embedding Function

Abstract

In this current study, set-valued optimization problem is considered. There are some criteria to obtain solutions of this set-valued optimization problem. The two most commonly used criteria are set and vector approaches in the literature. In this work, we investigated the solutions of set-valued optimization problems with respect to set approach. Many methods such as scalarization, vectorization and directional derivative are used to find the optimality conditions of set-valued optimization problems with respect to set approach. Apart from these methods, we used embedding function to obtain optimality conditions in this study. An embedding space is used in order to obtain optimality conditions by using embedding function. Some properties of this space and embedding function are studied. Moreover, an example is given to understand more better of the study. 

Keywords

• Set-valued map,optimality condition,embedding function

Gömme Fonksiyonu Kullanılarak Küme Optimizasyonuna Göre Verilen Küme Değerli Optimizasyon Problemlerinin Optimallik Koşulları

Abstract

Bu çalışmada küme değerli optimizasyon problemi ele alınmıştır. Küme değerli optimizasyon problemlerinin çözümlerini bulmak için kullanılan bazı kriterler vardır. Literatürde en çok kullanılan kriterler küme yaklaşımı ve vektör yaklaşımıdır. Bu çalışmada ise küme değerli optimizasyon problemlerinin küme yaklaşımına göre çözümleri araştırıldı. Küme değerli optimizasyon problemlerinin küme yaklaşımına göre optimallik koşullarını elde etmek için skalerizasyon, vektörizasyon ve yönlü türev gibi yöntemler kullanılır. Bu yöntemlerden farklı olarak çalışmada problemin optimallik koşullarını elde etmek için gömme fonksiyonu kullanılmıştır. Gömme fonksiyonu ile optimallik koşullarını elde edebilmek için bir gömme uzayı kullanılmıştır. Bu uzayın ve gömme fonksiyonunun bazı özellikleri incelenmiştir. Bunlara ek olarak çalışmanın daha iyi anlaşılabilmesi için bir örnek verilmiştir.

Keywords

• Küme değerli dönüşüm,Optimallik koşulu,Gömme fonksiyonu

References

1. A. Chinchuluun, P.M. Pardalos, A. Migdalas, L. Pitsoulis, Pareto Optimality, Game Theory and Equilibria. New York, USA: Springer-Verlag, 2008.
2. A.A. Khan, C. Tammer, C. Zalinescu, Set-Valued Optimization: An Introduction with Applications. Berlin: Springer-Verlag, 2015.
3. E. Karaman, M. Soyertem, İ. Atasever Güvenç, D. Tozkan, M. Küçük and Y. Küçük, “A Vectorization for nonconvex set-valued optimization,” Turk. J. Math., vol. 42, 2018, pp. 1815-1832.
4. E. Karaman, M. Soyertem, İ. Atasever Güvenç, D. Tozkan, M. Küçük and Y. Küçük, “Partial order relations on family of sets and scalarizations for set optimization,” Positivity, vol. 22 (3), 2018, pp. 783-802.
5. E. Hernandez and L. Rodriguez-Marin, “Nonconvex scalarization in set optimization with set-valued maps,” J. Math. Anal. Appl., vol. 325, 2007, pp. 1-18.
6. D. Kuroiwa, T. Tanaka and T.X.D. Ha, “On cone convexity of set-valued maps,” Nonlinear Anal-Theor., vol. 30(3), 1997, pp. 1487-1496.
7. D. Kuroiwa, “The natural criteria in set-valued optimization,” RIMS Kokyuroku, vol. 1031, 1998, pp. 85-90.
8. D. Kuroiwa, “On set-valued optimization,” Nonlinear Anal-Theor., vol. 47 (2), 2001, pp. 1395-1400.

9. J. Jahn, T.X.D. Ha, “New order relations in set optimization,” J. Optimiz. Theory. App., vol. 148, 2011, pp. 209-236.
10. M. Pilecka, “Optimality conditions in set-valued programming using the set criterion,” Thecnical University of Freiberg, vol. 2014 (2), 2014.
11. D. Kuroiwa, “On derivative of set-valued maps in set optimization,” Kyoto University Research Information Repository, vol. 1611, 2008, pp. 51-55.
12. D. Kuroiwa, “Canonical type DC set optimization,” in Proc. 3th Asian Conference on Nonlinear Analysis and Optimization, Matseu, 2012, pp. 197-204.
13. D. Kuroiwa, “Generalized minimality in set optimization,” Set optimization and applications – the state of the art: from set relations to set-valued risk measures, in mathematics & statistics, A.H. Hamel, F. Heyde, A. Löhne, B. Rudloff, C. Schrage, Ed. Berlin: Springer proceedings, vol. 151, 2015, pp. 293–311.
14. D. Kuroiwa, “Some duality theorems of set-valued optimization,” RIMS Kokyuroku, vol. 1079, 1999, pp. 15–19.
15. D. Pallaschke, R. Urbanski, Pairs of Compact Convex Sets. Dordrecht: Kluwer academic publishers, 2002.
16. R. Schneider, Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge: Encyclopedia Math. Appl., 1993.