Small Radical Supplemented Modules

Abstract

In this paper, we introduce the notion of small radical supplemented modules, which is adapted from small supplemented modules and obtain the various properties of these modules. It is clear that every small supplemented module and weakly radical supplemented module are small radical supplemented modules. In this study, we give examples for which the converses of these propositions need not to be true. We prove that the class of small radical supplemented modules is closed under finite sums and factor modules. Moreover, it is shown that a submodule N of M which is small in M is small radical supplemented if and only if M/N is small radical suplemented where M is a module over any left hereditary ring. Nevertheless, we show that for a left hereditary ring R, _R R is small radical supplemented if and only if R/(Rad(R)) is small supplemented. Also, we prove that every small radical supplemented module over a local Dedekind domain (DVR) is radical supplemented.

Keywords

• Small module,Small supplement,Radical

Küçük Radikal Tümlenmiş Modüller

Abstract

Bu çalışmada, küçük tümlenmiş modüller kullanılarak küçük radikal tümlenmiş modüller tanımlanmıştır ve bu modüllerin çeşitli özellikleri elde edilmiştir. Her küçük tümlenmiş modülün ve her zayıf radikal tümlenmiş modülün küçük radikal tümlenmiş modül olduğu açıktır. Bu önermelerin terslerinin doğru olmadığına dair örnekler verilmiştir. Küçük radikal tümlenmiş modüllerin sınıfının sonlu toplamlarda ve bölüm modüllerinde korunduğu ispatlanmıştır. Bunun yanı sıra, sol kalıtsal halka üzerindeki bir M modülünün N⊆M olacak şekilde N küçük modülü için M nin küçük radikal tümlenmiş olması için gerek ve yeter koşulun M/N bölüm modülünün küçük radikal tümlenmiş olması gerektiği gösterilmiştir. Ayrıca sol kalıtsal R halkası için R sol R-modülünün küçük radikal tümlenmiş olması için gerekli ve yeterli koşulun R/(Rad(R)) bölüm modülünün küçük tümlenmiş olması gerektiği gösterilmiştir. Ayrıca, lokal Dedekind bölgesi üzerinde her küçük radikal tümlenmiş modülün radikal tümlenmiş olduğu ispatlanmıştır.

Keywords

• Küçük modül,Küçük tümleyen,radikal

References

1. [1] R. Alizade, E.Büyükaşık, and Y. Durgun, “Small supplements, weak supplements and proper classes,” Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 45(3), 449-461, 2016.
2. [2] R. Alizade, G. Bilhan, and P. F. Smith, “Modules whose maximal submodules have supplements,” Communications in Algebra, 29(6), 2389-2405, 2001.
3. [3] E. Büyükaşık and E. Türkmen, “Strongly radical supplemented modules,” Ukranian Mathematical Journal, 106, 25-30, 2011.
4. [4] F. Kasch, Modules and Rings, Academic Press Inc., 1982.
5. [5] W.W. Leonard, “Small modules,” Proc. Amer. Math. Soc., 17, 527-531, 1966.
6. [6] C. Lomp, “Semilocal modules and rings,” Communications in Algebra, 4, 1921-1935, 1999.
7. [7] B. Nişancı Türkmen and E. Türkmen, “On a generalization of weakly supplemented modules,” An. Ştiint.Univ. Al. I. Cuza Iaşi. Mat. (N.S.), LXIII (2), 441-448, 2017.
8. [8] R. Wisbauer, Foundations of Modules and Rings Theory, Gordon and Breach, 1991.

9. [9] H. Zöschinger, “Moduln, die in jeder erweiterung ein komplement haben,” Math. Scand., 35, 267-287, 1974.