On The Iterative Solutions of Delay Differential Equations

Year 2023, Volume: 2 Issue: 1, 44 - 55, 30.04.2024

Yunus Atalan

Abstract

Quantitative and qualitative details that are important for some problems modeled as differential or integral equations can be made more explicit through fixed point iteration methods. Iteration methods are used as an effective tool to include an equation whose solution is under investigation into a class of operators under certain conditions and to obtain the solution of the equation with the help of this operator. In this study, the convergence of a new four-step iteration method is proved and it is shown that since delay differential equations can be included in the class of contraction mappings under certain conditions, the sequence obtained from the reconstructed four-step iteration method with the help of these equations converges to the solution of these equations.

Keywords

Iteration method, Contraction mapping, Convergence

Gecikmeli Diferansiyel Denklemlerin İteratif Çözümleri Üzerine

Abstract

Diferansiyel veya integral denklem şeklinde modellenen bazı problemler için önem arz eden nicel ve nitel ayrıntılar sabit nokta iterasyon yöntemleri aracılığıyla daha belirgin hale getirilebilir. Çözümü incelenen bir denklemi belirli şartlar altında bir operatör sınıfına dahil etmek ve bu operatör yardımıyla söz konusu denklemin çözümüne ulaşmak için iterasyon yöntemleri etkin bir araç olarak kullanılmaktadır. Bu çalışmada yeni dört adımlı bir iterasyon yönteminin yakınsaklığı ispatlanmış ve gecikmeli diferansiyel denklemler belirli şartları sağlamak kaydıyla daraltan dönüşüm sınıfına dahil edilebildiğinden bu denklemler yardımıyla yeniden inşa edilen dört adımlı iterasyon yönteminden elde edilen dizinin bu denklemlerin çözümüne yakınsadığı gösterilmiştir.

Keywords

İterasyon yöntemi, Daraltan dönüşüm, Yakınsaklık

References

• Atalan, Y. and Karakaya, V., (2019). Investigation of some fixed point theorems in hyperbolic spaces for a three-step iteration process, Korean J. Math. 27, 929-947.
• Banach, S., (1922). “Sur Les Opérations Dans Les Ensembles Abstraits et Leur Application Aux Equations Intégrales", Fundamenta Mathematicae, 3 (1): 133-181.
• Berinde, V. (2007), Iterative Approximation of Fixed Points, Springer-Verlag, Berlin.
• Chugh, R. Kumar, V. ve Kumar, S., (2012). Strong convergence of a new three step iterative scheme in Banach spaces, American Journal of Computational Mathematics, 2: 345-357.
• Coman, G., Pavel, G., Rus, I. ve Rus, I., (1976). Introduction on the Theory of Operatorial Equations, Ed, Dacia, Cluj-Napoca.
• Gündoğdu, E. (2023). Hiperbolik uzaylarda sabit nokta teorisi üzerine baz sonuçlar, (Yüksek Lisans Tezi, Aksaray Üniversitesi), Aksaray Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü.
• Hardy, G.E. & Rogers, T., (1973). A generalization of a fixed point theorem of Reich, Canadian Mathematical Bulletin, 16 (2), 201-206.
• Kannan, R. (1968). "Some Results on Fixed Points", Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, 60 (1-2): 71-76.
• Karahan, I. & Ozdemir, M., (2013). A general iterative method for approximation of fixed points and their applications, Advances in Fixed Point Theory, 3 (3): 510-526.
• Karakaya, V., Atalan, Y., Doğan, K., Bouzara, NEH., (2016). Convergence analysis for a new faster iteration method, İstanbul Ticaret Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi 15(30), 35-53.
• Khan, S.H. (2013). "A Picard-Mann Hybrid Iterative Process", Fixed point Theory and Applications, 2013 (69):
• Maldar, S., Atalan, Y., Doğan, K., (2020). Comparison rate of convergence and data dependence for a new iteration method, Tbilisi Mathematical Journal 13(4), 65-79.
• Nadler, S.B. (1969). "Multi-valued Contraction Mappings", Pacific Journal of Mathematics, 30 (2): 475-488.
• Zamfirescu, T. (1972). "Fix Point Theorems in Metric Spaces", Archiv der Mathematik, 23 (1): 292-298.