Sıra Azaltan Dönüşüm Yarıgruplarının Sıfır-Bölen Çizgesi

Year 2022, , 68 - 74, 28.02.2022

Kemal Toker , Zeynep Eşidir

https://doi.org/10.35414/akufemubid.1014880

Abstract

𝑛 ∈ ℤ+ olmak üzere 𝑋𝑛 = {1,2, … , 𝑛} sonlu bir küme olsun. 𝑋𝑛 üzerindeki tüm sıra koruyan dönüşümlerin yarıgrubu 𝐷𝑛 olsun. Bu çalışmada 𝐷𝑛 yarıgrubunun sol sıfır bölenleri, sağ sıfır bölenleri ve iki-yönlü sıfır bölenleri bulunmuştur. Ayrıca, 𝑛 ≥ 4 için köşeleri 𝐷𝑛 yarıgrubunun sıfır elemanı 𝜃 dışındaki iki-yönlü sıfır bölenleri olmak üzere Γ(𝐷𝑛) yönsüz grafiği tanımlanmıştır. Bu grafikte 𝛼 ve 𝛽 farklı köşeler olmak üzere bu iki köşenin grafikte bir kenar oluşturması için gerek ve yeter koşul 𝛼𝛽 = 𝜃 = 𝛽𝛼 olmasıdır. Bu çalışmada Γ(𝐷𝑛) grafiğinin bağlantılı olduğu ispatlanmış olup, grafiğin çapı, grafikteki en kısa devir uzunluğu, tüm köşelerin dereceleri, en büyük derece ve en küçük derece bulunmuştur. Ayrıca, Γ(𝐷𝑛) grafiğinde klik ve kromatik sayıları için bir alt sınır bulunmuştur.

Keywords

Sıfır-bölen çizge, Sıra azaltan dönüşümler, Çap, Klik sayısı

Zero-Divisor Graphs of Order-Decreasing Full Transformation Semigroups

Abstract

Let 𝑛 ∈ ℤ+ and 𝑋𝑛 = {1,2, … , 𝑛} be a finite set. Let 𝐷𝑛 be the order-decreasing full transformation semigroup on 𝑋𝑛. In this paper, we find the left zero-divisors, the right zero-divisors and two sided zerodivisors of 𝐷𝑛. Moreover, for 𝑛 ≥ 4 we define an undirected graph Γ(𝐷𝑛) whose vertices are two-sided zero divisors of 𝐷𝑛 excluding the zero element 𝜃 of 𝐷𝑛. In the graph, distinct two vertices 𝛼 and 𝛽 are joined if and only if 𝛼𝛽 = 𝜃 = 𝛽𝛼. In this paper, we prove that Γ(𝐷𝑛) is a connected graph, and we find
diameter, girth, the degrees of all vertices, the maximum degree and the minimum degree in Γ(𝐷𝑛). Moreover, we give lower bounds for clique number and choromatic number of Γ(𝐷𝑛).

Keywords

Zero-divisor graph, Order-decreasing transformations, Diameter, Clique number

References

• Anderson, D.F., Livingston, P.S., 1999. The zero-divisor graph of a commutative ring. Journal of Algebra, 217(2), 434-447.
• Beck, I., 1988. Coloring of commutative rings. Journal of Algebra, 116(1), 208-226.
• Chartrand, G., Zhang, P., 2009. Chromatic Graph Theory. Boca Raton, FL, USA: CRC Press, 1-483.
• Das, K.C., Akgüneş, N., Çevik, A.S., 2013. On a graph of monogenic semigroup. Journal of Inequalities and Applications, 44, 1-13.
• DeMeyer, F., DeMeyer, L., 2005. Zero divisor graphs of semigroups. Journal of Algebra, 283(1), 190-198.
• DeMeyer, F., McKenzie, T., Schneider, K., 2002. The zero-divisor graph of a commutative semigroup. Semigroup Forum, 65(2), 206-214.
• Howie, J.M., 1995.Fundamentals of semigroup theory. New York, NY, USA: Oxford University Press, 1-351.
• Redmond S.P., 2002. The zero-divisor graph of a non-commutative ring. International Journal of Commutative Rings, 1(4), 203-211.
• Thulasiraman, K., Arumugam, S., Brandstädt, A., Nishizeki, T., 2015. Handbook of Graph Theory, Combinatorial Optimization, and Algorithms. Boca Raton, CRC Press, 1-1195.
• Toker, K., 2016. On the zero-divisor graphs of finite free semilattices. Turkish Journal of Mathematics, 40(4), 824-831.
• Toker, K., 2021. Zero-divisor graphs of Catalan monoid. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 50(2), 387-396.
• Toker, K., 2021. Zero-divisor graphs of partial transformation semigroups. Turkish Journal of Mathematics, 45(5), 2323-2330.
• Umar, A., 1992. On the semigroup of order-decreasing full transformation. Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics, 120(A), 129-142.