On Continuity of Functions Involving the Translation Operator on the Space Ap1,q1,p2,q2(G,w)

Year 2021, Volume: 21 Issue: 3, 549 - 558, 30.06.2021

Nilay Değirmen , İbrahim Değirmen

https://doi.org/10.35414/akufemubid.870593

Abstract

Let G be a unimodular locally compact group and w∈Bp where p=min{p1,p2}. In this paper, it has been proved that for every weight w that satisfies the condition W∈∆2 (G) and belongs to the space L1G or not, there can be a dense set everywhere in the space A_{p1,q1}^{p2,q2}(G,w) with respect to the norm |||.||| and for any element h in these sets the function s->Lsh from the group G to the space A_{p1,q1}^{p2,q2}(G,w) is continuous. Here, the set of simple functions in G and a subset of this set with support in a set of finite measure is used. Also, by using these two results, it has been obtained that for any h∈A_{p1,q1}^{p2,q2}(G,w) the mapping s->Lsh from G to Ap1,q1,p2,q2(G,w) and the mapping s->|||Lsh||| from G to R+U{0} are continuous.

Keywords

density, continuity, weighted Lorent space, convolution operator, tensor product

A_{p1,q1}^{p2,q2}(G,w) Uzayı Üzerinde Öteleme Operatörünü İçeren Fonksiyonların Sürekliliği Üzerine

Abstract

G ünimodüler yerel kompakt grup ve p=min{ p1 , p2} olmak üzere w∈Bp olsun. Bu makalede, ilk olarak, W∈∆2 (G) şartını sağlayan ve L1(G) uzayına ait olan ya da olmayan her w ağırlığı için A_{p1,q1}^{p2,q2}(G,w) uzayında |.| normuna göre her yerde yoğun olan bir küme bulunabildiği ve bu kümelerdeki herhangi bir h elemanı için G grubundan A_{p1,q1}^{p2,q2}(G,w) uzayına tanımlı s->Lsh fonksiyonunun sürekli olduğu ispatlanmıştır. Burada, G üzerinde tanımlı basit fonksiyonların kümesi ve bu kümenin sonlu ölçümlü bir kümede desteğe sahip bir alt kümesi kullanılır. Ayrıca bu iki sonuç yardımıyla her h∈A_{p1,q1}^{p2,q2}(G,w) için G grubundan A_{p1,q1}^{p2,q2}(G,w) uzayına tanımlı s->Lsh ve G grubundan R+ birleşim {0} kümesine tanımlı s-> norm(Lsh) fonksiyonlarının sürekli olduğu elde edilmiştir.

Keywords

yoğunluk, süreklilik, ağırlıklı lorentz uzayı, girişim operatörü, tensör çarpımı

References

• Arino, M. A. and Muckenhoupt, B., 1990. Maximal functions classical Lorentz spaces and Hardy' s inequality with weights for nonincreasing functions. Transactions of the American Mathematical Society, 320(2), 727-735.
• Avcı, H. and Gürkanlı, A. T., 2007. Multipliers and tensor products of Lorentz spaces. Acta Mathematica Scientia, 27(B)(1), 107-116.
• Bonsall, F. F. and Duncan, J., 1973, Complete Normed Algebras, 80, Springer Verlag, Berlin, 230-237.
• Carro, M. J., Raposo, J. A. and Soria, J., 2007, Recent Developments in the Theory of Lorentz Spaces and Weighted Inequalities, 187, no. 877, Managing editor Robert Guralnick, Memoirs of the American Mathematical Society.
• Değirmen, N. ve Değirmen, İ., 2021. A_{p1,q1}^{p2,q2}(G,w) uzayı ve bazı topolojik özellikleri üzerine. Iğdır Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 11(2), 1468-1480.
• Folland, G. B., 1995, A Course in Abstract Harmonic Analysis, CRS Press, Boca Raton, Florida, 36-47.
• Halmos, P. R., 1974, Measure Theory, Second edition, Springer Verlag, New York, 73-183.
• Hunt, R. 1966. On spaces. L’Enseignement Mathématique, 12, 249-276.
• Li, H. and Sun, Q., 2012. Multipliers and tensor products of the weighted Lorentz spaces . Georgian Mathematical Journal, 19, 721-740.
• Yap, L. Y. H., 1969. Some remarks on convolution operators and spaces. Duke Mathematical Journal, 36, 647-658.