A Method to Find the Dominant Real Root of a Polynomial Equation

Year 2020, Volume: 3 Issue: 1, 37 - 51, 09.07.2020

Arif Kerem Dayı Özlem Moğol

https://doi.org/10.37215/bilar.643505

Abstract

The solution to the Rabbit Problem is the famous Fibonacci sequence. When this sequence is analyzed, it is found that the characteristic equation of this sequence is a quadratic equation. Furthermore, the ratio of the consecutive terms of the sequence converges to one of the roots of the characteristic equation. So why does it converge to the number of phi? Is it just because it is a positive root? In this study, some data in the rabbit problem have been changed. The changed data are “The time that the creature reaches adulthood“ and “At what intervals the creature gives birth after reaching adulthood”. According to the values of these variables, different recurrence relations emerged. It has been observed that the characteristic equations of these recurrence relations are polynomials of higher order than the 2nd degree. It has been shown that one of the roots of the polynomial equations, which are the characteristic equation of these sequences, can be found with the “Limit of the rates of consecutive terms” as in the algorithm applied in the Fibonacci sequence. “In this case, does the limit value of the rate of consecutive terms of the resulting array always converge to a root? Which root does it converge? Under what conditions is this method provided?” questions were answered. This paper suggests a new method to find the dominant root –the root with the largest modulus- of a polynomial equation. The method also helps to find lower and upper bounds for the roots.

Keywords

Recursive sequence, Polynomial equations, The Fibonacci sequence

Polinom Denklemlerin Mutlak Değerce En Büyük Reel Kökünü Veren Bir Metot

Abstract

Fibonacci Tavşan Problemi önemli bir sayı dizisi olan Fibonacci dizisini vermektedir. Bu dizi incelendiğinde karşılaşılan indirgeme bağıntısının karakteristik denklemi 2. dereceden bir polinom denklem olduğu görülür. Bu dizinin ardışık terimlerinin oranının limiti ise bu 2. derece polinom denklemin köklerinden biri olan Fi sayısına yakınsar. Peki neden Fi sayısına yakınsar? Sadece pozitif kök olduğu için mi? Bu çalışmada tavşan problemindeki bazı veriler değiştirilmiştir. Değiştirilen veriler “Canlının yetişkinliğe ulaşma süresi” ve “Canlının yetişkinliğe ulaştıktan sonra hangi aralıklarla doğum yaptığı”dır. Bu değişkenlerin aldıkları değerlere göre ortaya, farklı indirgeme bağıntıları çıkmıştır. Bu indirgeme bağıntılarının karakteristik denklemlerinin 2. dereceden daha yüksek mertebelerde polinomlar oldukları görülmüştür. Bu dizilerin karakteristik denklemi olan Polinom denklemlerin köklerinden birinin Fibonacci dizisinde uygulanan algoritmada olduğu gibi “Dizinin ardışık terimlerin oranlarının limiti” ile bulunabileceği gösterilmiştir. “Bu durumda oluşan dizinin ardışık terimlerin oranının limit değeri her zaman bir köke yakınsar mı? Hangi köke yakınsar? Bu metot hangi koşullar altında sağlanır?” sorularına cevap verilmiştir. Bu çalışmada yüksek mertebeden polinom denklemlerin köklerinden mutlak değerce en büyük kök reel ise bu reel kökün bulunması için bir metot ortaya koyulmuştur. Bu metot aynı zamanda polinom denklemlerin reel kökleri için üst veya alt sınır bulunmasına da katkı sağlamaktadır.

Keywords

İndirgemeli diziler, Polinom denklemler, Fibonacci tavşan problemi

References

• Barbeau, E.J. (1989). Problem Books in Mathematics, Polynomials. Springer Verlag. New York-ABD.
• TÜBİTAK UMO (2003). Erişim adresi: (www.tubitak.gov.tr/tr/olimpiyatlar/ulusal-bilim-olimpiyatlari/icerik-matematik) . Son ErişimTarihi:31.04.2020
• TÜBİTAK UMO (2005). Erişim adresi: (www.tubitak.gov.tr/tr/olimpiyatlar/ulusal-bilim-olimpiyatlari/icerik-matematik). Son Erişim Tarihi:31.04.2020
• Wolframalpha (1987). Erişim adresi:https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E3%3Dx%5E2%2B1. Son Erişim Tarihi:31.04.2020