A STUDY ON INDIRECT REDUCTIONS IN TERMS OF TWO-VALUED LOGIC –II: THE REDUCTION OF BICONDITIONAL AND NONINCLUSIVE DISJUNCTION PROPOSITIONS WITH FOUR VALUE CASES

Abstract

Compound propositions, which contain two different simple propositions, are propositions with four value cases in the context of two-valued logic. These propositions can be called propositions with four value cases. There can be 16 truth functions for propositions with four value cases. Each one eight direct variations of the conjunction, disjunction, conditional, incompatibility, and joint denial takes one of eight truth functions: “true-true-true-false”, “true-true-false-true”, “true-false-true-true”, “false-true-true-true”, “false-false-false-true”. “false-false-true-false”, “false-true-false-false” and “true-false-false-false”. Accordingly, each variation of these propositions can be reduced to four other propositions. Direct variations of biconditional and noninclusive disjunction have the truth functions “true-false-false-true” and “false-true-true-false”. Correspondingly, the different variations of biconditional and noninclusive disjunction are reducible to each other; however, no variation of these propositions can be reduced to the direct variations of the propositions of conjunction, disjunction, conditional, incompatibility, and joint denial. Similarly, neither direct variations nor indirect variations of the propositions of conjunction, disjunction, conditional, incompatibility, and joint denial can be reduced to biconditional and noninclusive disjunction propositions. However, the different variations of biconditional and noninclusive disjunction can be reduced to indirect variations of conjunction, disjunction, conditional, incompatibility, and joint denial. In this study, by making use of both the same and different propositional joints, indirect propositions that are equivalent to direct variations of biconditional and noninclusive disjunction are created, and it is tried to show how biconditional and noninclusive disjunction can be reduced to conjunction, disjunction, conditional, incompatibility, and joint denial.

Keywords

• Proposition
• Reduction
• Truth Function
• Biconditional
• Noninclusive Disjunction

DOLAYLI İNDİRGEMELER ÜZERİNE İKİ DEĞERLİ MANTIK AÇISINDAN BİR İNCELEME –II: DÖRT DEĞER DURUMLU KARŞILIKLI KOŞUL VE TEKİL EVETLEME ÖNERMELERİNİN İNDİRGENMESİ

Abstract

İki farklı basit önermeyi içeren bileşik önermeler, iki değerli mantık bağlamında dört değer durumuna sahip olan önermelerdir. Bu önermeler, dört değer durumlu önermeler olarak adlandırılabilir. Dört değer durumlu önermelere yönelik 16 doğruluk fonksiyonu olabilir. Tümel evetleme, tikel evetleme, koşul, bağdaşmazlık ve birlikte değilleme önermelerinin sekiz doğrudan varyasyonundan her biri; “doğru-doğru-doğru-yanlış”, “doğru-doğru-yanlış-doğru”, “doğru-yanlış-doğru-doğru”, “yanlış-doğru-doğru-doğru”, “yanlış-yanlış-yanlış-doğru”, “yanlış-yanlış-doğru-yanlış”, “yanlış-doğru-yanlış-yanlış” ve “doğru-yanlış-yanlış-yanlış” şeklindeki sekiz doğruluk fonksiyonundan birini alır. Buna göre, bu önermelerin her varyasyonu diğer dört önermeye indirgenebilir. Karşılıklı koşul ve tekil evetleme önermelerinin doğrudan varyasyonları ise “doğru-yanlış-yanlış-doğru” ve “yanlış-doğru-doğru-yanlış” doğruluk fonksiyonlarına sahiptir. Buna göre, karşılıklı koşul ve tekil evetleme önermelerinin farklı varyasyonları birbirine indirgenebilir; ancak bu önermelerin hiçbir varyasyonu tümel evetleme, tikel evetleme, koşul, bağdaşmazlık ve birlikte değilleme önermelerinin doğrudan varyasyonlarına indirgenemez. Yine tümel evetleme, tikel evetleme, koşul, bağdaşmazlık ve birlikte değilleme önermelerinin ne doğrudan ne de dolaylı varyasyonları karşılıklı koşul ve tekil evetleme önermelerine indirgenebilir. Bununla birlikte, karşılıklı koşul ve tekil evetleme önermelerinin farklı varyasyonları; tümel evetleme, tikel evetleme, koşul, bağdaşmazlık ve birlikte değilleme önermelerinin dolaylı varyasyonlarına indirgenebilir. Bu çalışmada, hem aynı hem de farklı önerme eklemlerinden yararlanılarak karşılıklı koşul ve tekil evetleme önermelerinin doğrudan varyasyonlarına eşdeğer olan dolaylı önermeler oluşturulup karşılıklı koşul ve tekil evetleme önermelerinin nasıl tümel evetleme, tikel evetleme, koşul, bağdaşmazlık ve birlikte değilleme önermelerine indirgenebildikleri gösterilmeye çalışılmaktadır.

Keywords

• Önerme
• İndirgeme
• Doğruluk Foksiyonu
• Karşılıklı Koşul
• Tekil Evetleme

References

1. Allen, C. & Hand, M. (2001). Logic primer (2nd ed.). Massachusetts: The MIT Press.
2. Bochvar, D. A. (1938). Ob odnom trekhznachnom ischislenii i ego primenenii k analizu paradoksov klasicheskogo rasshirennogo funktsionalnogo ischislenia, Mathematicheskii Sbornik, 46(2), 290-291.
3. Bochvar, D. A. (1981). On a three-valued logical calculus and its application to the analysis of the paradoxes of the classical extended functional calculus (trans. M. Bergmann), History and Philosophy of Logic, 2(1-2), 87-112.
4. Copi, I. M. (1967). Symbolic logic (3rd ed.). New York: The Macmillan Company.
5. Frege, G. (1972). On the aim of the conceptual notation (trans. T. W. Bynum). T. W. Bynum (Ed.), Gottlob Frege: Conceptual notation and related articles (pp. 90-100). Oxford: Clarendon Press.
6. Gemignani, M. C. (2004). Basic concepts of mathematics and logic. New York: Dover Publications Inc.
7. Grünberg, T. (2002). Modern logic. Ankara: METU Press.
8. Hilbert, D. & Ackerman, W. (1950). Principles of mathematical logic (trans. L. M. Hammond, G. G. Leckie & F. Steinhardt). New York: Chelsea Publishing Company.

9. Kutlusoy, Z. (2003). Temel sembolik mantık. Ankara: ART Basın Yayın.
10. Lorenzen, P. (1965). Formal Logic (trans. F. J. Crosson). Dordrecht: D. Reidel.
11. Łukasiewicz, J. (1963). Elements of mathematical logic (trans. O. Wojtasiewicz). Oxford: Pergamon Press.
12. Osman, F. (2023). Mantığın aritmetik denklem dilinin geleneksel/klasik akıl yürütme biçimlerine uygulanması: Frege’nin Begriffsschrift’i bağlamında doğrudan ve dolaylı çıkarımların iki boyutlu notasyonu. Bursa: Emin Yayınları.
13. Post, E. L. (1967). Introduction to a general theory of elementary propositions. J. van Heijenoort (Ed.), From Frege to Gödel: A source book in mathematical logic, 1879-1931 (pp. 265-283). Massachusetts: Harvard University Press.
14. Thomas, N. L. (1966). Modern logic: An introduction. New York: Barnes & Noble Inc.
15. Thomas, J. A. (1977). Symbolic logic. Ohio: Charles E. Merrill Publishing Company.
16. Whitehead, A. N. & Russell, B. (1962). Principia mathematica. New York: Cambridge University Press.
17. Yıldırım, C. (2019). Mantık: Doğru düşünme yöntemi. Ankara: FOL Kitap.