Genişletilmiş Stirling Sayıları ve q-B-spline Fonksiyonları Arasındaki İlişki

Abstract

İkinci tür Stirling sayıları S(n,k), n elemanlı bir kümeyi k tane boş olmayan kümeye bölen yolların sayısını belirtir. Şimdiye kadar üzerinde çalışılan pek çok stirling sayı çeşidi vardır. Bu çalışmada keyfi gerçel sayılar için tanımlanan genişletilmiş stirling sayılarını kullanacağız. İlk olarak, genişletilmiş stirling sayıları ve q-B-spline fonksiyonları arasındaki ilişkiyi bölünmüş farkların q-B-spline fonksiyonları ile gösterimini kullanarak tanımlayacağız. Buna ek olarak, stirling sayıları ve q-B-spline fonksiyonlarının q-integralleri üzerine özdeşlikler türeteceğiz. Ayrıca genişletilmiş stirling sayılarının q-üretici fonksiyonunu bulacağız ve bu fonksiyon için bir q-fark denklemi vereceğiz.

Keywords

• Stirling sayıları
• q-B-spline
• Bölünmüş farklar

Relation Between Extended Stirling Numbers and q-B-splines

Abstract

Stirling numbers of second kind S(n,k) denotes the number of ways partitioning a set of n elements into k nonempty sets. There are many types of stirling numbers which are studied up to now. In this study, we use extended stirling numbers of second kind which are defined for arbitrary reals. First, we define a relation between extended stirling numbers and q-B-splines by using the property that divided differences have a representation with q-B-splines. In addition, we derive identities on stirling numbers and q-integral of q-B-splines. Furthermore, we give q-generating functions of extended stirling numbers and define a q-difference equation for this function.

Keywords

• Stirling numbers
• q-B-splines
• Divided Differences

References

1. Carlitz, L. 1948. q-Bernoulli numbers and polynomials, Duke Math. J. Vol. 15 , no. 4, page 987–1000
2. Wachs, M., White D. 1991. p;q-Stirling numbers and set partition statistics, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 56 (1), 27-46
3. Broder A. 1984. The r-stirling numbers, Discrete Math., 49, 241-259
4. Duran U., Acikgoz M., Araci S. 2018. On (q;r;w)-stirling numbers of the second kind, Journal of Inequalities and Special Functions, 9 (1), 9-16
5. Neuman E. 1981. Moments and Fourier transforms of B-splines, Journal of Computational and Applied Mathematics, 7(1), 51-62
6. Simeonov P., Goldman R. 2013. Quantum B-splines, BIT Numerical Mathematics, Vol. 53, pp. 193-223
7. Budakçı G., Dişibuyuk Ç., Goldman R., Oruc¸ H. 2015. Extending Fundamental Formulas from Classical B-Splines to Quantum B-Splines, Journal of Computational and Applied Mathematics, 282, 17-33
8. Kac V., Cheung P. 2002. Quantum Calculus. Universitext Series, IX, Springer Verlag

9. Curry, H.B., Schoenberg, I.J. 1966. On Polya frequency functions IV: The fundamental spline functions and their limits, J. Anal. Math. 17, 71-107