ON THE NUMERICAL SOLUTION OF SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS VIA GENERALIZED DIFFERENTIAL QUADRATURE METHOD

Year 2006, Volume: 8 Issue: 1, 19 - 37, 01.01.2006

Ömer Civalek Seval Çatal

Abstract

The solution of differential equations has a great importance in the analysis of
engineering systems and applied disciplines. It is not always possible to obtain the analytical
solutions of these equations, which has a boundary value and/or initial value form as usual.
For this purpose, it has been improved many numerical analysis method to obtain the
adequate solutions up to now. All of these methods have a relative advantage and
disadvantage with respect to each other because of the time aspect and the sensitivity. In this
study, Generalized Differential Quadrature (GDQ) method was briefly introduced and
presented the numerical solutions of some type boundary value problems that have been
confronted in engineering and basic sciences often. It has been emphasized that generalized
Differential Quadrature method is an alternate method for the solution of known type
differential equations

Keywords

Generalized differential quadrature, Differential equations, Numerical analysis

GENELLEŞTİRİLMİŞ DİFERANSİYEL QUADRATURE METODU İLE BAZI SINIR DEĞER PROBLEMLERİNİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ ÜZERİNE

Abstract

Gerek mühendislik sistemlerinin analizinde ve gerekse uygulamalı disiplinlerde
diferansiyel denklemlerin çözümü büyük bir öneme sahiptir. Çoğunlukla bir sınır değer
ve/veya başlangıç değer formunda olan bu denklemlerin analitik çözümü çoğu durumda
mümkün değildir. Bu amaçla yeter yaklaşıklıkta çözümler elde etmek için günümüze kadar
pek çok sayısal analiz yöntemi geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin her birinin; gerektirdikleri
bilgisayar kapasiteleri, zaman ve hassasiyet açısından biri birine göre avantajları ve
dezavantajları mevcuttur. Çalışmada genelleştirilmiş diferansiyel quadrature metodu kısaca
tanıtılmış, mühendislikte ve temel bilimlerde sıkça karşılaşılan bazı tür sınır değer
probleminin sayısal çözümü sunulmuştur. Genelleştirilmiş diferansiyel quadrature yönteminin
bilinen bazı tip diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılacak alternatif bir metot olduğu
vurgulanmıştır.

Keywords

Genelleştirilmiş diferansiyel tümlev, Diferansiyel denklem, Nümerik analiz

References

• Bert C.W., Jang S.K., Striz A.G. (1987): “Two New Approximate Methods for Analyzing Free Vibration of Structural Components”, AIAA Journal, 26 (5), 612-618.
• Bert C.W., Malik M. (1996): “Differential Quadrature Method in Computational Mechanics: A Review”, Applied Mechanics Review, 49(1), 1-28.
• Bert C.W., Wang Z., Striz A.G. (1994): “Static and Free Vibrational Analysis Of Beams and Plates by Differential Quadrature Method”, Acta Mechanica, 102, 11-24.
• Björck A., Pereyra V. (1970): “Solution of Vandermonde System of Equations”, Math. Comput., Vol. 24, 893-903.
• Choi S.T., Wu J.D., Chou Y.T. (2000): “Dynamic Analysis of A Spinning Timoshenko Beam by the Differential Quadrature Method”, AIAA Journal, 38(5), 2000.
• Celia M.A., Gray W.G. (1992):“Numerical Methods for Differential Equations, Fundamental Concepts for Scientific and Engineering Applications”, Prentice Hall, New Jersey.
• Civalek Ö. (1998): “Plak ve Kabukların Sonlu Elemanlar Metoduyla Analizi”, Yüksek Lisans Semineri, Fırat Üniversitesi.
• Civalek Ö. (2001): “Diferansiyel Quadrature Metodu ile Elastik Çubukların Statik, Dinamik ve Burkulma Analizi”, XVI Mühendislik Teknik Kongresi, Kasım, ODTÜ, Ankara.
• Civalek Ö., Çatal, H.H. (2002a): “Plakların Diferansiyel Quadrature Metodu ile Stabilite ve Titreşim Analizi”, IMO Teknik Dergi, baskıda.
• Civalek Ö., Çatal H.H. (2002): “Bir ve İki Boyutlu Yapıların Genelleştirilmiş Diferansiyel Quadrature Yöntemiyle Dinamik Analizi”, Türkiye İnşaat Mühendisleri Odası, Mühendislik Haberleri, Sayı 417, s. 39-46.
• Civan F., Sliepcevich C.M. (1984): “Differential Quadrature For Multi Dimensional Problems”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 101, 423-443.
• Civan F., Sliepcevich C.M. (1983): “Solution of The Poisson Equation by Differential Quadrature”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 19, 711-724.
• Crandall S.H. (1968): “Mühendislik Analizi, Sayısal Hesap Metotlarına Genel Bakış”, Çevirenler: Utku, Ş., Özden, E.Y., Berksoy matbaası.
• Çakıroğlu A., Özmen G., Özden E. (1974): “Yapı Sistemlerinin Hesabı için Matris Metotları ve Elektronik Hesap Makinası Programları”, Cilt I-II, Matbaa Teknisyenleri Basımevi, İstanbul.
• Du H., Lim M.K., Lin R.M. (1994): “Application of Generalized Differential Quadrature Method to Structural Problems”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 37, 1881-1896.
• Du H., Liew K.M., Lim M.K. (1996): “Generalized Differential Quadrature Method for Buckling Analysis”, Journal of Eng. Mech., ASCE, 122(2), pp. 95-100.
• Hamming R.W. (1973): “Numerical Methods for Scientists and Engineers”, McGraw-Hill, New York.
• Hasanov A.H. (2001): “Varyasyonel Problemler ve Sonlu Elemanlar Yöntemi”, Literatür yayınları, İstanbul.
• Hildebrand F.B. (1965): “Methods of Applied Mathematics”, Prentice-Hall.
• İnan M. (1996) “Cisimlerin Mukavemeti”, 7.baskı, Beril Ofset, İstanbul.
• Jang S.K., Bert C.W., Striz A.G. (1989): “Application of Differential Quadrature to Static Analysis of Structural Components”, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 28, 561-577.
• Leissa A.W. (1973): “The Free Vibration of Rectangular Plates”, Journal of Sound and Vibration, 31, 257-293.
• Lin R.M., Lim M.K., Du H. (1994): “Deflection of Plates with Nonlinear Boundary Supports Using Generalized Differential Quadrature”, Computers and Structures, 53(4), 993-999.
• Mitchell A.R. (1976): “Computational Methods in Partial Differential Equations”, John Wiley.
• Mingle J.O. (1977): “The Method of Differential Quadrature for Transient Nonlinear Diffusion”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 60, 559-569.
• Sherbourne A.N., Pandey, M.D. (1991): “Differential Quadrature Method in the Buckling Analysis of Beams and Composite Plates”, Computers and Structures, 40(4), 903-913.
• Shu C., Richards B.E. (1992): “Application of Generalized Differential Quadrature to Solve Two-Dimensional Incompressible Navier-Stokes Equations”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, 15, 791-798.
• Zienkiewicz O.C. (1977): “The Finite Element Method in Engineering Science”, 3rd Edition, McGraw-Hill, London.