THE HIGHER DIMENSIONAL WHEELER-DEWITT EQUATION AND WAVE FUNCTION OF THE UNIVERSE

Abstract

The higher dimensional Arnowitt-Deser-Misner (ADM) formalism is briefly explained. The higher dimensional Wheeler-DeWitt equation  is obtained for the ten dimensional effective string theory ground state manifold which has the  M₄ × C₆ form, where M₄ denotes the actual 4-dimensional spacetime and  C₆  denotes the 6-dimensional compact internal space. The M₄ spacetime manifold is the four dimensional sphere in the Euclidean region or in the quantum gravity region, whereas, the four dimensional hypersphere in the Lorentzian region or in the very early universe region. The C₆ space manifold  is the six dimensional Euclidean sphere in every region. The Wheeler-deWitt equation is solved by using of suitable transformations of the relevant metrics scale factors and the standart methods of the second quantized field theory methods, i.e., using of normal ordering rules of the field operators. The solution wave function of the universe has the exponantial varying character in the Euclidean region, whereas, the oscillatory character in the Lorentzian region. Furthermore, the wave function has the harmonic oscillator ground state wave function form for the small values of the relevant metrics scale factors.

Keywords

• The higher dimensional ADM formalism,the Euclidean and Lorentzian regions,the higher dimensional Wheeler-deWitt equation

YÜKSEK BOYUTLU WHEELER-DEWITT DENKLEMİ VE EVRENİN DALGA FONKSİYONU

Abstract

Yüksek boyutlu Arnowitt-Deser-Misner (ADM) formalizmi kısaca anlatılır. Yüksek boyutlu Wheeler-deWitt denklemi, M₄ × C₆  formuna sahip olan on boyutlu etkin sicim alan kuramı taban durum manifoldu için elde edilir, burada M₄ gerçek 4 boyutlu uzayzamanı ve C₆  6 boyutlu kompakt iç uzayı gösterir. M₄ uzayzaman manifoldu Euclidyen bölgede veya kuantum kütleçekimi bölgesinde dört boyutlu küre, oysa, Lorentzyen veya erken evren bölgesinde dört boyutlu hiperküredir. C₆  uzay manifoldu her bölgede altı boyutlu Euclidyen küredir. Wheeler-deWitt denklemi ilgili metriklerin ölçek çarpanlarının uygun dönüşümlerini kullanarak ve ikinci kuantumlanmış alan kuramının standart yöntemlerini yani alan operatörlerinin normal sıralama kurallarını kullanarak çözülür. Evrenin çözüm dalga fonksiyonu, Euclidyen bölgede üstel değişen karaktere, Lorentzian bölgede ise salınımlı karaktere sahiptir. Ayrıca, dalga fonksiyonu ilgili metrik ölçek çarpanlarının küçük değerleri için harmonik salınıcı taban durum dalga fonksiyonu formuna sahiptir.

Keywords

• Yüksek boyutlu ADM formalizmi,Euclidyen ve Lorentzyen bölgeler,yüksek boyutlu Wheeler-deWitt denklemi

References

1. [1] Arnowitt, R., Deser, S., Misner, C.W., “The Dynamics of General Relativity” in Gravitation : An Introduction to Current Research ed. L.Witten, Wiley, 227 (1962)
2. [2] Bardeen, J.M., “Cosmological Perturbations, From Quantum Fluctuations to Large Scale Structure”, in Cosmology and Particle Physics eds. L.Z.Fang and A.Zee, Gordon and Breach Science Publishers S.A., 5 (1988)
3. [3] Green, M.B., Schwarz, J.H., Witten, E., “Superstring Theory”, Vol.2., Cambridge University Press, 478 (1987)
4. [4] Hawking, S.W., "The Quantum Theory of the Universe", in Intersection between Elementary Particle Physics and Cosmology edited by T. Piran and S. Weinberg, Jerusalem 28 Dec 1983 - 6 Jan 1984 World Publishing, 75 (1986)
5. [5] Hawking, S.W., F.R.S., “Quantum Cosmology”, in Three Hundred Years of Gravitation edited by S.W.Hawking and W.Israel, Cambridge University Press., 638 (1987)
6. [6] Hawking, S.W., F.R.S. and Ellis, G.F.R., “The Large Scale Structure of Space-Time”, Cambridge University Press., 46 (1973)
7. [7] Misner, C.W., Thorne, K.S., Wheeler, J.A., “Gravitation”, W.H.Freeman and Co., 491 (1973)
8. [8] Ryan, M.P.,Jr., Shepley, L.C., “Homogeneous Relativistic Cosmologies”, Princeton University Press., 186 (1975)