Pascal Üçgeni, Kombinasyon ve Tümevarım Kullanarak Fibonacci Dizisinin N. Elemanını Bulma

Abstract

Bilindiği üzere Fibonacci dizisi bilişim teknolojileri dâhil birçok mühendislik alanında kullanılmaktadır. Fibonacci dizisinin n. elemanını bulabilmek için (n-1). ve (n-2). elemanlarının da hesaplanması gerekir. Bu işlem bilinmeyen her bir elemanın hesaplanması işlemi özyinelemeli olarak 1. ve 2. elemana kadar gider. Bu çalışmada Paskal üçgeninden faydalanılarak Fibonacci dizisinin n. elemanını doğrudan bulabilen bir formül önerilmiştir. Bilindiği üzere Paskal üçgenine sol alttan sağ yukarı doğru diagonal düzlemdeki tüm elemanlar toplandığında Fibonacci dizisinin elemanları sırayla hesaplanabilmektedir. Bu düzlemde gizli olarak bulunan örüntü, matematikteki Kombinasyon, Tümevarım ve Fonksiyon konuları ile modellenerek yeni bir formül haline dönüştürülmüştür. Fibonacci serisindeki elemanları bulmak için özyinelemeli ve dinamik programlama yöntemleri ile yapılan hesaplamalara göre daha az zaman ve alan karmaşıklığı ile benzer sonuçlar bulunmuştur.

Keywords

• Fibonacci dizisi,özyineleme,formül

Calculating Nth Element of Fibonacci Sequence using Pascal Triangle, Combination and Sigma Symbol

Abstract

As is known, Fibonacci sequence is used in many engineering fields including information technology. It is an obligation to calculate the (n-1)th and (n-2)th elements in the Fibonacci Sequence in order to find the (n)th element. These calculations recursively go to the 1^st and 2^nd elements. In this study, the Pascal triangle is used to determine the Fibonacci sequence. A formula has been proposed that can find the required Fibonacci element directly. It is known that the elements of the Fibonacci sequence can be calculated sequentially when all the elements in the diagonal plane are collected from left to right in the Pascal triangles. The hidden pattern  in this triangle is transformed into a new formula by modeling with Combination, sigma symbol and Functions in mathematics. To find the Fibonacci series, time and space complexity is reduced to the minimum according to calculations made by recursive and dynamic programming.

Keywords

• Fibonacci sequence,recursion,formula

References

1. [1] Hsu C.H., Hung-Son D., "The application of Fibonacci sequence and Taguchi method for investigating the design parameters on spiral micro-channel." Applied System Innovation (ICASI), 2016 International Conference on IEEE, 2016.
2. [2] Plofker K., Hannah J., "Mathematics in India." Aestimatio: Critical Reviews in the History of Science 7, 45-53, 2015.
3. [3] Goel, N.S., Richter N., Stochastic models in biology, Elsevier, USA, 2016.
4. [4] Brasch TV. Byström J., Lystad L.P., "Optimal Control and the Fibonacci Sequence", Journal of Optimization Theory and Applications, 154 (3): 857–78, doi:10.1007/s10957-012-0061-2, 2012.
5. [5] Orozco-Henao, C., "Active distribution network fault location methodology: A minimum fault reactance and Fibonacci search approach.", International Journal of Electrical Power & Energy Systems 84, 232-241, 2017.
6. [6] Kaplan H., Tarjan R.E., Zwick U., "Fibonacci heaps revisited." arXiv preprint arXiv:1407.5750, 2014).
7. [7] Klavžar S., "Structure of Fibonacci cubes: a survey." Journal of Combinatorial Optimization 25(4):505-522, 2013.
8. [8] Stakhov A.P., Massingue V., Sluchenkova A., "Introduction into Fibonacci coding and cryptography." Osnova, Kharkov, 1999.

9. [9] Lengyel T., "A counting based proof of the generalized Zeckendorf's theorem." Fibonacci Quarterly 44.4, 324, 2006.
10. [10] Knuth, D.E., The Art of Computer Programming, 1: Fundamental Algorithms (3rd ed.), Addison–Wesley, p. 343, ISBN 0-201-89683-4, 1997.
11. [11] DeBellis, R.S., Ronald M.S., Phil C.Y., "Pseudorandom number generator." U.S. Patent No. 6,044,388. 28 Mar. 2000.
12. [12] Cohn, M., Agile estimating and planning. Pearson Education, ISBN-13: 978-0131479418, 1st Edition, 2005.
13. [13] Niemann Thomas, Sorting and Searching Algorithms kitabı, Oregon, USA, 2010.
14. [14] Edson M, Yayenie O., "A New Generalization of Fibonacci Sequence & Extended Binet's Formula." Integers, 9(6, 639-654, 2009.