(p,q)-Poisson Dağılım Serisi İçeren Harmonik Yalınkat Fonksiyonlar Üzerine

Öz

Öz Harmonik fonksiyonlar, geometrik fonksiyonlar teorisinde klasik bir başlıktır. Geçmişten günümüze bir çok araştırmacı Harmonik fonksiyon sınıflarını ve bu fonksiyonların geniş uygulama alanlarını çalışmışlardır. Bu konu günümüzde de hala popülerliğini korumaktadır. Biz bu çalışmada harmonic yalınkat fonksiyonların bir alt sınıfını çalışacağız. Bu makalede harmonic fonksiyonların bir alt sınıfını tanımlayacağız. H, U={z ϵ C∶|z|<1} açık birim disk olmak üzere; U diskinde kompleks değerli sürekli fonksiyonların oluşturduğu sınıfı temsil etsin. A ise birim diskte analitik fonksiyonların oluşturduğu ve H sınıfının alt sınıfı olsun. Bir fonksiyon U açık birim diskinde harmonik ise h ve g analitik fonksiyon olmak üzere f=h+g ̅ tipinde yazılabilir. Burada h fonksiyonu f fonksiyonunun analitik kısmı g ise co-analitik kısmı olarak tanımlanır. f fonksiyonunun U birim diskinde yerel yalınkat ve yön koruyan olması için gerek ve yeter şart |h'(z)|>|g'(z)| olmasıdır (bkz. [3]). Bu makale boyunca, (p, q)- hesabının giriş notasyonlarını ve tasvirlerini kullanacağız. Bu makalenin amacı, (p,q)-Poisson dağılım serilerini içeren (p,q)-yıldız benzeri harmonik tek değerli fonksiyonlar arasındaki bağlantıları bulmaktır.

Anahtar Kelimeler

• Kompleks harmonik fonksiyonlar
• univalent fonksiyonlar
• (pq)-hesabı
• (pq) yıldızıl fonksiyonlar

On Harmonic Univalent Functions Involving (p,q)-Poisson Distribution Series

Abstract

Harmonic functions are a classic title in the class of geometric functions. Many researchers have studied these function classes from past to present, and since it has a wide range of applications, it is still a popular class. In this study, we will examine harmonic univalent functions, a subclass of harmonic functions. In this study, a subclass of harmonic univalent functions will be examined. Let H denote the class of continuous complex-valued harmonic functions which are harmonic in the open unit disk U={z ϵ C∶|z|<1} and let A be the subclass of H consisting of functions which are analytic in U. A function harmonic in U may be written as f=h+¯g, where h and g are analytic in U. We call h the analytic part and g co-analytic part of f. A necessary and sufficient condition for f to be locally univalent and sense-preserving in U is that |h'(z)|>|g'(z)| (see [3]). Throughout this paper, we will use introductory notations and delineations of the (p, q)- calculus. The aim of the present paper is to find connections between (p,q)-starlike harmonic univalent functions involving (p,q)-Poisson distribution series.

Keywords

• Complex harmonic functions
• univalent functions
• (pq)-calculus
• (pq) starlike functions

References

1. Alsobah, A., Darus, M. (2019). On Subclasses of Harmonic Univalent Functions Defined by Jackson (p,q) Derivative, Journal of Analysis, 10(3), 123-130.
2. Chakrabarti, R., Jagannathan, R. (1991). A (p, q)-oscillator realization of two- parameter quantum algebras, J. Phys. A 24(13), L711.L718.
3. Clunie, J., Sheil-Small, T. (1984). Harmonic univalent functions, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 9, 3-25.
4. Ismail, M. E. H., Merkes, E., Steyr, D. (1990). A generalization of starlike functions,Complex Variables Theory Appl. 14(1), 77-84.
5. Jackson, F. H. (1908). On q-functions and a certain difference operator, Transactions of the Royal Society of Edinburgh, Vol:46, 253-281.
6. Jahangiri, J.M. (2018). Harmonic univalent functions defined by q- calculus operators, Inter.J. Math. Anal. Appl. 5(2), 39.43.
7. Jahangiri, J.M. (1999). Harmonic functions starlike in the unit disk, J. Math. Anal. Appl. 235, 470-477.
8. Mustafa, J.M. Nezir, V. (2021). Analytic functions expressed with q-Poisson distribution series, Turkish Journal of Science, 6(1), 24-30.

9. Nazeer, W., Mehmood, Q., Kang, S.M., Haq, A. U. (2019). An application of Binomial distribution series on certain analytic functions, Journal of Computational Analysis and Applications, 26, 11-17.
10. Porwal, S., Srivastava, D. (2017). Harmonic starlikeness and convexity of integral operators generated by Poisson distribution series, Math. Morav. 21(1) 51-60.
11. Silverman, H., Silvia, E.M. (1999). Subclasses of harmonic univalent functions, New Zeland J. Math. 28 275-284.
12. Sahai, V., Yadav, S. (2007). Representations of two parameter quantum algebras and p, q-special functions, J. Math. Anal. Appl. 335, 268.279.
13. Seoudy, T. M., Aouf, M.K. (2016). Coefficient estimates of new classes of q-starlike and q-convex functions of complex order, J. Math. Inequal. 10(1), 135-145.