Year 2021, Volume , Issue 21, Pages 172 - 180 2021-01-31

Mock-Cebyshev Noktalarında Vandermonde Matrisinin Bir Uygulaması: Kovid-19 Vaka Tahmini

B. Ali İBRAHİMOĞLU [1]


Birbirinden farklı interpolasyon noktalarında (veya nodlarında) verilen datalar kullanılarak, polinom interpolasyon problemi monomial bazlar ile fade edilebilir. Bu ifade, Vandermonde matrisi ile beraber bir lineer denklem sistemi oluşturur. Reel sayılarda verilen interpolasyon noktaları için bu noktaların sayısı çok küçük değilse; Vandermonde matrisi genel olarak kötü durumludur ve bu kötü durumluluk bu matris ile çalışmanın zorluklarından biridir. Bu kötü durumluluğun derecesi, interpolasyon noktalarının dağılımına bağlı olarak epeyce farklılık gösterebilir. Bu bağlamda, noktalarının dağılımı eşit aralıklı olmaktan epey uzak olan Chebyshev nodlarının kullanılması genelde tavsiye edilmektedir. Ancak, bu takdirde, deneysel verilerin sadece eşit aralıklı noktalarda mevcut olması durumunda ne yapılacağı problemi ortaya çıkar. Bu durumda, polinom interpolasyonunda iyi bilinen şu sorun oluşur: ele alınan fonksiyon interpolasyon aralığının her yerinde analitik olsa bile, eşit aralıklı noktalardaki interpolasyon polinomları yakınsamayabilir. Bu sorunun sebebi, Runge olgusu olarak bilinir. İnterpolasyon işlemlerinin Chebyshev nodlarında en iyi sonucu verme avantajından faydalanarak, Runge olgusunun üstesinden gelmenin en iyi yollarından biri, polinom interpolasyonunda mock-Chebyshev noktalarını kullanmaktır. Eşit aralıklı noktaların genişçe bir kümesinden seçilen bu noktalar asimptotik olarak Chebyshev noktalarının dağılımını takip ederler. Bu noktaların hesaplanması konusunda, literatürde çok az sayıda çalışma bulunmaktadır. Bu çalışmada, mock-Chebyshev noktalarını hesaplayan hızlı bir algoritma tanıtılmaktadır. Bu algoritma ile elde edilen noktalar kullanılarak, Kovid-19 vakalarını tahmin etmek için Vandermonde matrisinin bu noktalardaki bir uygulaması verilmektedir. İnterpolasyon noktalarının dağılımının Vandermonde matrisinin durumu açısından rolü ayrıca değerlendirilmiştir.
Vandermonde matrisi, Mock-Chebyshev interpolasyon, Nod dağılımları
  • [1] Davis, P.J., (1963). Interpolation and Approximation, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., New York.
  • [2] Gautschi, W. (1962). On inverses of Vandermonde and confluent Vandermonde matrices. Numerische Mathematik, 4(1), 117-123.
  • [3] Gautschi, W. (1974). Norm estimates for inverses of Vandermonde matrices. Numerische Mathematik, 23(4), 337-347.
  • [4] Gautschi, W. (1983). The condition of Vandermonde-like matrices involving orthogonal polynomials. Linear algebra and its applications, 52, 293-300.
  • [5] Van Loan, C. F., & Golub, G. H. (1983). Matrix computations, Baltimore: Johns Hopkins University Press.
  • [6] Ibrahimoglu, B.A., (2016). Lebesgue functions and lebesgue constants in polynomial interpolation, J. Inequal. Appl. 2016 (1) 93.
  • [7] Ibrahimoglu, B.A., (2020). A fast algorithm for computing the mock-Chebyshev nodes, J. Comput. Appl. Math. Vol.373, 112336.
  • [8] Runge, C. (1901). Uber empirische Funktionen und die Interpolation zwischen aquidistanten Ordinaten, Z. Math. Phys., 46, 224- 243.
  • [9] Trefethen, L.N., (2000). Spectral Methods in MATLAB, SIAM, Philadelphia.
  • [10] https://www.worldometers.info/coronavirus/country/italy/
Primary Language tr
Subjects Engineering
Journal Section Articles
Authors

Orcid: 0000-0002-3644-2201
Author: B. Ali İBRAHİMOĞLU (Primary Author)
Institution: YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ
Country: Turkey


Dates

Publication Date : January 31, 2021

APA İbrahimoğlu, B . (2021). Mock-Cebyshev Noktalarında Vandermonde Matrisinin Bir Uygulaması: Kovid-19 Vaka Tahmini . Avrupa Bilim ve Teknoloji Dergisi , (21) , 172-180 . DOI: 10.31590/ejosat.834950