ON THE KLEIN-4 INVARIANTS

Year 2023, Volume: 11 Issue: 2, 109 - 115, 28.08.2023

Şehmus Fındık , Nazar Şahin Öğüşlü

https://doi.org/10.20290/estubtdb.1211055

Abstract

Let K[X_4 ]=K[x_1,x_2,x_3,x_4 ] be the polynomial algebra with 4 algebraically independent commuting variables over a field K of characteristic zero. The symmetric group S_4 acts on K[X_4 ] naturally by the action of permutations exchanging the indices of variables with respect to the corresponding permutation. It is well known that the algebra K[X_4 ]^S_4 of all polynomials preserved under the action of S_4 is generated by 4 algebraically independent elements called the elementary symmetric polynomials. In this study, we consider the subalgebra G of S_4 generated by the transpositions (13) and (24) which is isomorphic to the Klein-4 group, and find a free generating set for the algebra K[X_4 ]^G of G-invariants.

Keywords

Action, invariants, symmetric group

KLEIN-4 İNVARYANTLARI ÜZERİNE

Abstract

K[X_4 ]=K[x_1,x_2,x_3,x_4 ], karakteristiği sıfır olan bir K cismi üzerinde cebirsel olarak bağımsız 4 değişkenli polinom cebiri olsun. Simetrik grup S_4, karşılık gelen permütasyona göre değişkenlerin indekslerini değiştiren permütasyon etkisiyle doğal yolla K[X_4] üzerine hareket eder. S_4'ün etkisi altında korunan tüm polinomların K[X_4 ]^S_4 cebirinin, temel simetrik polinomlar adı verilen cebirsel olarak bağımsız 4 eleman tarafından üretildiği iyi bilinmektedir. Bu çalışmada, Klein-4 grubuna izomorfik olan (13) ve (24) transpozisyonları tarafından üretilen S_4'ün G alt cebirini ele alıyoruz ve G-invaryantların cebiri K[X_4 ^G için bir serbest üreteç kümesi buluyoruz.

Keywords

etki, invaryant, simetrik grup

References

• [1] Hilbert D. Mathematische probleme. Göttinger Nachrichten 1900; 253-297, Arch. Math. u. Phys. 1901; 3(1): 44-63, Bull. Amer. Math. Soc. 1902; 8(10): 437-479.
• [2] Nagata M. On the 14-th problem of Hilbert. Amer J Math 1959; 81: 766-772.
• [3] Noether E. Der Endlichkeitssatz der Invarianten endlicher Gruppen, Math Ann 1916; 77: 89-92.
• [4] Nummela EC. Cayley's theorem for topological groups. The American Mathematical Monthly 1980; 87(3): 202-203.
• [5] Jacobi CGJ De Determinantibus functionalibus. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal) 1841; 22: 319-359.