Grad-Div Kararlılaştırılmış BDF-2 Zaman Adımlı Leray-𝜶 Modelinin Sayısal Analizi

Yıl 2021, Cilt: 2 Sayı: 2, 1 - 13, 01.11.2021

Pınar Doğru , Aytekin Bayram Çıbık

https://doi.org/10.5281/zenodo.5733935

Öz

Bu çalışmada, sık kullanılan bir türbülans modeli olan Leray-𝛼 modeli için grad-div kararlılaştırması incelenmiştir. Oluşturulan şema, sıkıştırılamaz zamana bağlı NSD’nin doğrusallaştırılmış ikinci mertebeden geri doğru fark (BDF2) formülüne dayalıdır ve uzayda sonlu eleman ile ayrıklaştırılmış bir Navier-Stokes sistemi üzerinde uygulanmaktadır. Ayrıca oluşturulan şemaya, kütle korunumunu iyileştirdiği ve basıncın hız hatası üzerindeki etkisini azalttığı için 𝛾 parametreli bir grad-div stabilizasyon terimi dâhil edilmiştir. Çalışmada, BDF2 zaman ayrıklaştırması ile elde edilen tamamen ayrık yaklaşımın çözümünün kararlı ve yakınsak olduğu gösterilmiştir. Son olarak da teorik yakınsama oranlarını doğrulamak için önerilen algoritmanın etkinliğini gösteren sayısal testler sunulmuştur.

Anahtar Kelimeler

Navier-Stokes denklemleri, Leray-𝛼 türbülans modeli, Sonlu elemanlar yöntemi, Doğrusal olmayan filtreleme

Kaynakça

• [1] Foias, C., Manley, O., Rosa, R., Temam, R., & Meng, J. (2002). Navier-Stokes Equations and Turbulence. Encyclopedia of Math and its Applications, Vol. 83. Applied Mechanics Reviews, 55(3), B57.
• [2] Leray, J. (1934). Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace. Acta Mathematica, 63(1), 193-248.
• [3] Cheskidov, A., Holm, D. D., Olson, E., & Titi, E. S. (2005). On a Leray–α model of turbulence. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 461(2055), 629-649.
• [4] Hill, R. (2010). Benchmark Testing the α-models of Turbulence. A project presented to the Graduate School of Clemson University.
• [5] Bowers, A. L., & Rebholz, L. G. (2013). Numerical study of a regularization model for incompressible flow with deconvolution-based adaptive nonlinear filtering. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 258, 1-12.
• [6] Busa, A. (2014). The Leray-α model of turbulence. Tech. report, MS Thesis, Free University of Berlin.
• [7] Akbaş, M., & Bowers, A. (2021). Improving accuracy in the Leray model for incompressible nonisothermal flows via adaptive deconvolution‐based nonlinear filtering. Mathematical Methods in the Applied Sciences, 44(8), 6679-6699.
• [8] Layton W. (2008). Introduction to the Numerical Analysis of Incompressible Viscous Flows. SIAM.
• [9] Brenner S, Scott LR. (1994). The Mathematical Theory of Finite Element Methods: Springer-Verlag.
• [10] Zhang S. (2005). A new family of stable mixed finite elements for the 3d Stokes equations. Math Comp., 74(250):543-554.
• [11] Heywood, J. Rannacher, R. (1990). Finite element approximation of the nonstationary Navier-Stokes problem. Part IV: Error analysis for the second-order time discretization. SIAM J. Numer. Anal., 27(2):353-384.
• [12] Layton, W., Manica, C. C., Neda, M., & Rebholz, L. G. (2008). Numerical analysis and computational testing of a high accuracy Leray‐deconvolution model of turbulence. Numerical Methods for Partial Differential Equations: An International Journal, 24(2), 555-582.
• [13] Hecht, F. (2012). New development in FreeFem++. Journal of Numerical Mathematics, 20(3-4), 251-266.