E^n Uzayında Küresel Eğrileri Karakterize Eden Diferansiyel Denklem Ve Çözümü

Year 2019, Volume: 9 Issue: 1, 143 - 154, 15.01.2019

Tuba Ağırman Aydın , Mehmet Sezer

https://doi.org/10.17714/gumusfenbil.410726

Abstract

Bu
çalışmada biz öncelikle n- boyutlu Öklid uzayında, Frenet çatısına göre küresel
eğrileri karakterize eden n. mertebeden lineer, değişken katsayılı diferansiyel
denklemi elde ettik. Katsayıları eğrilik ve torsiyon fonksiyonlarına bağlı bu
diferansiyel denklem her birim hızlı düzgün küresel eğri tarafından sağlanır.
Bu tip denklemleri genellikle analitik olarak çözmek mümkün değildir, bu yüzden
biz başlangıç koşulları kullanarak, sıralama noktaları ve Taylor polinomlarına
dayalı bir nümerik metod sunduk. Bizim metodumuzla öncelikle, n-boyutlu Öklid
uzayında küresel eğrileri karakterize eden diferansiyel denklemin çözülmesi
problemini, cebirsel denklemlerin bir sisteminin çözülmesi problemine
indirgedik ve sonra Taylor polinomlarının genel terimlerinde bu denklemin yaklaşık
çözümünü elde ettik.  

Keywords

Frenet çatısı, Küresel eğriler, Lineer Diferansiyel Denklemler, Taylor matrix sıralama metodu

Differential Equation Characterizing Spherical Curves in E^n and Solution of This Equation

Abstract

In this study we
consider a n. order linear differential equation with variable coefficients
characterizing spherical curves according to Frenet frame in Euclidean n-Space . This
equation whose coefficients are related to special function, curvature and
torsion, is satisfied by the position vector of any ragular unit velocity
spherical curve. These type equations are generally impossible to solve analytically and
so, for approximate solution we present a numerical method based on Taylor
polynomials and collocations points by using initial conditions. Our
method reduces the solution of problem to the solution of a system of algebraic
equations and the approximate solution is obtained in terms of Taylor
polynomials.

Keywords

Frenet frame, Linear differential equations, Spherical curves, Taylor matrix and collocation method.

References

• Aydın, T.A., 2014. Differential Equations Characterizing Curves Of Constant Breadth And Spherical Curves In En –Space And Their Solutions, Doktora Tezi, Muğla Sıtkı Koçman Üniversitesi, Muğla
• Blaschke, W., 1917. Leipziger Berichte, 67, 290s.
• Bruer, S. ve Gottlieb, D. (1971) Explicit Characterization Of Spherical Curves, Proc. Amer. Math. Soc., 27, (1): 126-127
• Cheng-Chung, H., 1981. A Differential Geometric Criterion For A Space Curve To Be Closed, Proc. Amer. Math. Soc., 81, (4): 357-361
• Dannon, V., 1981. Integral Characterizations And The Theory Of Curves, Proc. Amer. Math. Soc., 81, (4): 600-602
• Euler, L., 1778-1780. De Curvis Trangularibis, Acta Acad. Petropol., 3-30
• Fujivara, M., 1914. On Space Curves Of Constant Breadth, Thoku Math. J., 5, 179-184
• Gluck. H., 1966. Higher Curvatures Of Curves In Euclidean Space, Proc. Amer. Math. Montly, 73 : 699-704
• Hacısalihoğlu, H.H., 1993. Diferensiyel Geometri, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara, 269s.
• Hacısalihoğlu, H.H., 1998. Lineer Cebir-Cilt I, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara, 480s.
• Hacısalihoğlu, H.H., 2000. Diferensiyel Geometri-Cilt II, Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Ankara, 340s.
• Karamete A., 1996. Lineer Diferansiyel Denklemlerin Yaklaşık Çözümü İçin Taylor Sıralama Yöntemi, Yüksek Lisans Tezi, Balıkesir Üniversitesi, Balıkesir, 43.
• Karger, A. ve Novak, J., 1985. Space Kinematics And Lie Groups, Gordon And Breach Science Publishers.
• Mağden, A., 1990. R4 – Uzayında Bazı Özel Eğriler Ve Karakterizasyonları, Doktora Tezi, Atatürk Üniversitesi, Erzurum, 34.
• Reuleaux, F., 1963. The Kinematics Of Machinery, Trans. By Kennedy A.B.W., Dover Pub., New York
• Sezer, M., 1989a. Frenet Benzeri Bir Diferansiyel Denklem Sisteminin İntegral Özellikleri Ve Uygulamaları, II. Ulusal Matematik Sempozyumu, 25 - 28 Eylül 1989, İzmir, Ege Üniversitesi Fen Fakültesi Baskı İşleri, Bildiriler Kitabı, 1. Cilt: 435-444 Sezer, M., 1989b. Differential Equations Characterizing Space Curves Of Constant Breadth And A Criterion For These Curves, Doğa TU J. Math., 13, (2): 70-78
• Sezer, M., 1989c. Differential Equations And Integral Characterizations For E4 Spherical Curves, Doğa TU J. Math., 13, (3): 125-131
• Sezer, M., 1996. A Method For The Approximate Solution Of The Second Order Linear Differential Equations In Terms Of Taylor Polynomials, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 27, (6): 821- 834
• Wong, Y-C., 1963. A Global Formulation Of The Condition For A Curve To Lie In A Sphere, Monatsh. Math., 67, (4): 363-365
• Wong, Y-C., 1972. On An Explicit Characterization Of Spherical Curves, Proc. Amer. Math. Soc., 34, (1): 239-242