Caustics of a Paraboloid and Apollonius Problem

Year 2025, Volume: 18 Issue: 2, 448 - 461

Yagub Aliyev

https://doi.org/10.36890/iejg.1705944

Abstract

We study the caustics of an elliptical paraboloid. In the paper two ways of generating the surface, one with cartesian coordinates using the formula for the principal curvatures, and the other one with the parabolic coordinates using Seidel's formula were demonstrated. By finding the intersection curves of these caustics with the paraboloid we extend the solution of F. Caspari for the classical Apollonius problem about the number of concurrent normals to the points of the paraboloid itself. A complete classification of all possible cases of intersections of these caustics with their paraboloid is given.

Keywords

Parabola , Neile , elliptical paraboloid , caustics , normals , discriminant , cubic , curve , surface , centers of principal curvature , focal surface , centro-surface , Seidel , Apollonius problem.

References

• Aliyev, Y. N.: Apollonius Problem and Caustics of an Ellipsoid, International Electronic Journal of Geometry, 17(2), 402-420, (2024). https: //doi.org/10.36890/iejg.1368456
• Aliyev, Y. N.: Extending a Problem of Apollonius. Problem 07-007. https://citeseerx.ist.psu.edu/document?repid=rep1&type= pdf&doi=78c819041db94d35f7f902f3d7d19978d1377db6
• Apollonius of Perga: Conics Books V to VII, The Arabic Translation of the Lost Greek Original in the Version of the Banū Mūsā, Gerald J. Toomer (ed.), Springer New York, NY (1990). https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8985-9
• Arnol’d, V.I., Kirillov, A.A., Tikhomirov, V.M., Shubin, M.A.: On First All-Union Mathematical Competition for Students (in Russian), Uspekhi Mat. Nauk, 30:4 (184), 281-288 (1975). https://www.mathnet.ru/rus/rm4283
• Bains, M.S., Thoo, J.B.: The Normals to a Parabola and the Real Roots of a Cubic, The College Mathematics Journal, 38(4) (Sep.), 272-277, (2007). https://www.jstor.org/stable/27646502
• Blaschke, W.: Einführung in die Differentialgeometrie, Springer, Berlin, (1950).
• Brill, L.: Central Surface of a Paraboloid, Geometric Model, No. 149. Ser. 1, No. 2a, The National Museum of American History (1892). https://americanhistory.si.edu/collections/nmah_693993
• Brill, L.: Catalog mathematischer Modelle für den höheren mathematischen Unterricht, Dritte Auflage. Darmstadt. (1885). https: //opendigi.ub.uni-tuebingen.de/opendigi/BRILL#p=264
• Caspari, F.: Die Krümmungsmittelpunktsfläche des elliptischen Paraboloids, Dissert., Reimer, Berlin (1875). http://resolver.sub. uni-goettingen.de/purl?PPN310966825
• Caspari, F.: Die Krümmungsmittelpunktsflächen des elliptischen Paraboloids. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 81, 143-192, (1876). https://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0081 https://zbmath.org/07.0497.02
• Caspary, F.: Bemerkungen zu derjenigen Gleichung, von welcher die Bestimmung der Normalen an eine Fläche zweiten Grades abhängt. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 83, 72-75, (1877). http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002156512 https://zbmath.org/09.0553.01
• Clebsch, A.: Ueber das Problem der Normalen bei Curven und Oberflächen der zweiten Ordnung, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 62, 64-109 (1863). http://eudml.org/doc/147884
• Cayley, A.: On the centro-surface of an ellipsoid, Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 12(1), 319-365 (1873). Also included in The collected mathematical papers of Arthur Cayley, Vol. VIII, Cambridge University Press, Cambridge, 316-365 (1895). http://name. umdl.umich.edu/ABS3153.0008.001
• Cayley, A.: XIII. A memoir upon caustics, Phil. Trans. R. Soc. 147, 273–312, (1857). http://doi.org/10.1098/rstl.1857.0014
• Domokos, G., Lángi, Z., Szabó, T.: A topological classification of convex bodies, Geom. Dedicata 182, 95–116 (2016). https://doi.org/10. 1007/s10711-015-0130-4
• Drach, K.D., Komlev, V.: Space evolute of an elliptic paraboloid and a one-sheeted hyperboloid of M. Schilling catalogue, Category: Space caustics of quadrics, Geometric Models Collection of V.N. Karazin Kharkiv National University. http://touch-geometry.karazin.ua/m/space-evolute-of-an-elliptic-paraboloid
• Dyck, W.: Die Centralfläche des einschaligen Hyperboloids, Abhandlungen und Erläuterungen zu den mathematischen Modellen der Serien I-XII des Modellverlags, unter Leitung von L. Brill, 13-18, Darmstadt (1877-1885). https://opendigi.ub.uni-tuebingen.de/ opendigi/BRILL#tab=struct&p=21
• Curvature centre point surface of the elliptic paraboloid. Krümmungsmittelpunktsfläche Modellen: 345, Gypsum; Göttinger Sammlung mathematischer Modelle und Instrumente, Georg-August-Universität Göttingen. https://sammlungen.uni-goettingen.de/objekt/record_DE-MUS-069123_345/1/-/
• Hann, K.: What’s the Bound on the Average Number of Normals? The American Mathematical Monthly, 103(10) (Dec.), pp. 897-900, (1996). https://www.jstor.org/stable/2974616 (2023).
• Junker, H.: Anschauungsmodelle in der mathematischen Forschung deutscher Gelehrter 1860–1877, Dissert., Martin-Luther-Universität Halle Wittenberg https://opendata.uni-halle.de/bitstream/1981185920/110975/1/Dissertation_MLU_2023_ JunkerHannes.pdf
• 3D Model, Geometric model Central Surface of a Paraboloid, Museum of Kazan Federal University. https://sketchfab.com/3d-models/geometric-model-central-surface-of-a-paraboloid-370bcc66f0924ab1b81abf76b5382fe4 https://sketchfab.com/3d-models/geometric-model-central-surface-of-a-paraboloid-5822c6b7c97c42659e455d433078b97f https://zenodo.org/records/10227546
• Khesin, B.A., Tabachnikov, S.L. (Ed.): Arnold: Swimming Against the Tide, AMS, (2014).
• Kooij, J.F.: Caustics: The von Seidel equations, Master’s Thesis under the supervision of Prof. dr. J. Top and Dr. A. E. Sterk, University of Groningen, October (2016). https://fse.studenttheses.ub.rug.nl/14823/1/Masterthesis_Josselin.pdf
• McGiffert, J.: Normals to the Parabola, Mathematics News Letter, 7(6) (Mar.), pp. 12-17, (1996). https://www.jstor.org/stable/ 3027768
• Mishchenko, A., Fomenko, A.: A Course Of Differential Geometry And Topology, Mir Publishers, Moscow, (1988).
• Monge, G.: Application de l’Analyse à la Géométrie (5e édition), Paris (1850). https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/ bpt6k96431405/f344.item
• Naeve, A.: Focal surface of elliptic paraboloid (total and patch), YouTube videos, Feb 27, (2015). https://youtu.be/McxKUQSPkcQ? si=lFCfKeKHYnP6taxC and https://youtu.be/pCqIV9FMpds?si=8-XEeRX9LI372IzR. Playlist: https://youtube.com/ playlist?list=PL2B46F24ED8AB1FD2&si=V1VKmuPEdbZTlmSq
• Naeve, A.: Focal Surfaces, the website of the Knowledge Management Research Group. https://kmr.dialectica.se/ wp/research/math-rehab/learning-object-repository/geometry-2/metric-geometry/euclidean-geometry/ geometric-optics/focal-surfaces/
• Novikov, S.P., Fomenko, A.T.: Basic Elements of Differential Geometry and Topology, Mathematics and its Applications series, volume 60, Springer, Dordrecht, (1990).
• Patrikalakis, N.M., Maekawa, T.: Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing, Springer, Berlin, (2002).
• Poston, T., Stewart, I.: Catastrophe Theory and its Applications. Series: Surveys and Reference Works in Mathematics, 2, Pitman, (1979).
• Salmon, G.: Treatise On The Analytic Geometry Of Three Dimensions, Vol-1, Longmans Green and Co., London, (1928). https: //archive.org/details/dli.ernet.524455/page/211/mode/2up
• Salmon, G.: Treatise On The Analytic Geometry Of Three Dimensions, Vol-2, Longmans Green and Co., London, (1915). https: //archive.org/details/in.ernet.dli.2015.168633/page/n161/mode/2up
• Schilling, M.: Catalog mathematischer Modelle für den hoheren mathematischen Unterricht, Siebente Auflage, Verlag von Martin Schilling, Leipzig, (1911). https://libsysdigi.library.uiuc.edu/ilharvest/mathmodels/0006cata/0006CATA.pdf
• Schleiermacher, L.: Die Brennfläche eines Strahlensystems, welche mit der Fläche der Krümmungscentra des elliptischen Parahboloids in collinearer Verwandtschaft steht, Abhandlungen und Erläuterungen zu den mathematischen Modellen der Serien I-XII des Modellverlags, unter Leitung von L. Brill, 5-11, Darmstadt (1877-1885). https://opendigi.ub.uni-tuebingen.de/opendigi/BRILL#p=13
• Schmidt, R.F.: Analytical Caustic Surfaces, NASA, Technical Memorandum 87805, (1987). https://ntrs.nasa.gov/citations/ 19880001678 and https://core.ac.uk/download/pdf/42834678.pdf
• Schröder, H.: Die Zentraflächen der Paraboloide und Mittelpunktsflächen zweiten Grades, Dissert., Halle a. S., H. John (1913). http:// resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN316295612
• Schröder, H.: Die Zentraflächen der Paraboloide und Mittelpunktsflächen zweiten Grades, Abhandlung zu den Modellen Serie XLIII, Nr. 1-7, Leipzig, Verlag von Martin Schilling, (1913).
• von Seidel, P.L., Kummer, E.: Uber die Brennfläche eines Strahlenbündels, welches durch ein System von centrirten sphärischen Gläsern hindurch gegangen ist. Monatsberichte der Königlichen Preussische Akademie des Wissenschaften zu Berlin, 695–705, (1862). https://www. biodiversitylibrary.org/item/112407#page/756/mode/1up
• Seidel: Ueber die Theorie der kaustischen Flächen, welche in Folge der Spiegelung oder Brechung von Strahlenbüscheln an den Flächen eines optischen Apparats erzeugt werden Die Fortschritte der Physik: dargest. von d. Physikalischen Gesellschaft zu Berlin. 13, 212-214, (1857-1859). https: //www.bavarikon.de/object/bav:BSB-MDZ-00000BSB10707401?p=1&cq=Die+Fortschritte+der+Physik&lang=de
• Seidel, L.: Ueber die Entwicklung der Glieder 3ter Ordnung, welche den Weg eines ausserhalb der Ebene der Axe gelegenen Lichtstrahles durch ein System brechender Medien bestimmen, Zur Dioptrik., Astronomische Nachrichten 1027-1029, 289-332, (1856). https://scholar. archive.org/search?q=L.+Seidel+Dioptrik
• Smith, Ch.: An Elementary Treatise on Solid Geometry, Macmillan, London, (1907).
• Focal surface, Wikipedia, the free encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Focal_surface