Representation of Unit Fractions on the Number Line: Middle School Students’ Performances and Errors

Abstract

Unit fractions are central to the development of fraction concepts and to students’ understanding of fraction operations, particularly through number line representations. Although students’ difficulties with fractions have been widely documented, research focusing specifically on middle school students’ performance in ordering and representing unit fractions on the number line remains limited. This qualitative case study investigates students’ performances across different grade levels under three instructional conditions: no number line provided, a blank number line, and a number line indicating only the zero point. The study involved 294 students from grades 5 to 8 who completed an open-ended assessment consisting of nine tasks across three contexts. Student responses were categorized as correct, partially correct, incorrect, or blank, and error patterns were analyzed with high inter-coder reliability. The findings indicate consistently low performance across all contexts, with a predominance of incorrect responses. While providing a number line with a marked zero point led to a slight reduction in errors, the absence of a number line or the presence of a blank number line did not significantly affect performance. Common errors included interpreting unit fractions as natural numbers, misplacing them outside the interval between 0 and 1, and ordering them based on denominator size or presentation order. These results underscore persistent conceptual weaknesses in students’ understanding of unit fractions and emphasize the need for instruction that foregrounds number line reasoning and the conceptual meaning of fractions.

Keywords

• unit fraction
• ordering fraction
• number line

Birim Kesirlerin Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi: Ortaokul Öğrencilerinin Performansları ve Hataları

Abstract

Bu çalışmanın amacı, ortaokul öğrencilerinin birim kesirleri sayı doğrusu üzerinde gösterme performanslarını ve hatalarını incelemektir. Araştırma kapsamında öğrencilere 3 farklı bağlamda (I-sayı doğrusu modelinin hazır verilmediği, II-üzerinde herhangi bir sayı değeri belirtilmeden hazır verildiği, III-sadece 0 noktasının belirtildiği bir sayı doğrusunun verildiği) sorular yöneltilmiştir. Araştırma altı devlet okulunda öğrenim gören ve uygun örnekleme yöntemiyle seçilen 294 ortaokul öğrencisi ile gerçekleştirilmiştir. Veriler, araştırmacılar tarafından geliştirilen açık uçlu sorulardan oluşan bir çalışma kağıdı yardımıyla kullanılarak toplanmış ve içerik analizi ile analiz edilmiştir. Araştırmada elde edilen bulgulara göre, üç farklı bağlamda verilen birim kesirleri sıralama etkinliklerinin öğrencilerin birim kesirleri sıralama performanslarında (doğru, kısmi doğru, yanlış, cevapsız oranları) önemli farklılıklar ortaya çıkarmadığı görülmüştür. Öğrenciler her üç bağlamda birim kesirlerin sıralanması ile ilgili etkinliklerde düşük oranda doğru veya kısmi doğru cevaplar verirken, çok yüksek oranda ise yanlış cevaplar vermişlerdir. Sıfırın belirtildiği bir sayı doğrusunun verildiği sorularda öğrencilerin hata yapma oranının azaldığı ortaya çıkmıştır. Öğrencilerin cevaplarında ortaya çıkan hatalar; birim kesirlerin 0 ile 1 arasında olduğunu anlamama, birim kesirleri doğal sayılarla ilişkilendirme ve birim kesirleri soruda verildiği şekliyle sıralama olarak belirlenmiştir. Bu sonuçlar, matematik öğretiminde öğrencilerin birim kesir kavramı ile ilgili algılarını destekleyecek etkinliklere yer verilmesinin önemini ortaya çıkarmaktadır.

Keywords

• Birim kesir
• sayı doğrusu
• kesirlerde sıralama

References

1. Altun, M. (2002). Sayı doğrusunun öğretiminde yeni bir yaklaşım. İlköğretim Online, 1(2), 33-39.
2. Behr, M. J., Wachsmuth, I., Post, T. R., & Lesh, R. (1984). Order and equivalence of rational numbers: A clinical teaching experiment. Journal for Research in Mathematics Education, 15, 323–341. https://doi.org/10.2307/748423
3. Biber, A., Tuna, A., & Aktaş, O. (2013). Öğrencilerin kesirler konusundaki kavram yanılgıları ve bu yanılgıların kesir problemleri çözümlerine etkisi. Trakya Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 3(2), 152-162.
4. Cramer, K., Monson, D., Ahrendt, S., Wyberg, T., Pettis, C., & Fagerlund, C. (2019). Reconstructing the unit on the number line: tasks to extend fourth graders’ fraction understandings. Investigations in Mathematics Learning, 11(3), 180-194. https://doi.org/10.1080/19477503.2018.1434594
5. Christou, K. P. (2015). Natural number bias in operations with missing numbers. ZDM, 47, 747-758.
6. Can, D. (2020). Sınıf öğretmeni adaylarının mantıksal düşünme yeteneğine göre sayı duyusu performanslarının incelenmesi. Cumhuriyet Uluslararası Eğitim Dergisi, 9(2), 367-389.
7. Çakmak Gürel, Z., & Okur, M. (2016). Ortaokul 6. ve 7. sınıf öğrencilerinin kesirler konusundaki kavram yanılgıları. Erzincan Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 18(2), 922-952. https://doi.org/10.17556/jef.30116
8. Çelebioğlu, B. (2014). Kesir kavramına ilişkin bilgi oluşturma sürecinin incelenmesi (Tez No. 407241) [Doktora tezi, Uludağ Üniversitesi-Bursa]. Yükseköğretim Kurulu Başkanlığı Tez Merkezi.

9. Dağdelen, O., Cabacı, N., Karslı, G., & Kurt, M. (2024). Kesirlerde sayı doğrusu kullanımında öğrenci hataları. The Journal of Academic Social Science, 159(159), 330-361. http://dx.doi.org/10.29228/ASOS.78695
10. Duran Uzun, D., & Koparan, T. (2020). Rasyonel sayılar konusu ile ilgili kavram yanılgılarının giderilmesinde kavramsal değişim yaklaşımının etkisinin incelenmesi. Cumhuriyet Uluslararası Eğitim Dergisi, 9(4), 1267-1289. https://doi.org/10.30703/cije.714758
11. Earnest, D. (2015). From number lines to graphs in the coordinate plane: ınvestigating problem solving across mathematical representations. Cognition and Instruction, 33(1), 46–87. https://doi.org/10.1080/07370008.2014.994634
12. Eroğlu, D., Camci, F., & Tanışlı, D. (2019). Ortaokul altıncı sınıf öğrencilerinin kesir bilgilerinin yapılandırılmasına ilişkin tahmini öğrenme yol haritası: Bir öğretim tasarımı. Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 45(45), 116-143.
13. Gabriel, F. C., Coché, F., Szucs, D., Carette, V., Rey, B. & Content, A. (2013). A componential view of children’s difficulties in learning fractions. Frontiers in Psychology, 4, 715-730.
14. Hackenberg, A. J. (2007). Units coordination and the construction of improper fractions: A revision of the splitting hypothesis. The Journal of Mathematical Behavior, 26(1), 27-47. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2007.03.002
15. Hoon, T. S., Narayanan, G., & Singh, P. (2021), Applying fractional strategies on number line among primary school students. Pertanika Journal of Social Science and Humanities, 29(1), 127-139. https://doi.org/10.47836/pjssh.29.1.07
16. Işık, C., & Kar, T. (2012). 7. sınıf öğrencilerinin kesirlerde toplama işlemine kurdukları problemlerin analizi. Elementary Education Online, 11(4), 1021-1035.
17. Karakaya, İ. (2012). Bilimsel araştırma yöntemleri. A. Tanrıöğen (Edt.) Bilimsel araştırma yöntemleri. Ankara: Anı.
18. Kılıç, H., Tunç-Pekkan, Z., & Karatoprak, R. (2013). Materyal kullanımının matematiksel düşünme becerisine etkisi. Eğitimde Kuram ve Uygulama, 9(4), 544-556.
19. Lortie-Forgues, H., Tian, J., & Siegler, R.S. (2015). Why is learning fraction and decimal arithmetic so difficult? Developmental Review, 38, 201-221. https://doi.org/10.1016/j.dr.2015.07.008
20. Milli Eğitim Bakanlığı (MEB), (2024). Matematik dersi öğretim programı (5, 6, 7 ve 8. Sınıflar). Milli Eğitim Bakanlığı.
21. Misquitta, R. (2011). A review of theliterature: Fraction instruction for struggling learners in mathematics. Learning Disabilities Research & Practice, 26(2), 109-119.
22. Ni, Y., & Zhou, Y. D. (2005). Teaching and learning fraction and rational numbers: The origins and ımplications of whole number bias. Educational Psychologist, 40(1), 27-52. https://doi.org/10.1207/s15326985ep4001_3
23. Noparit, T., & Saengpun, J. (2013). How student teachers use proportional number line to teach multiplication and division of fraction: professional learning in context of lesson study and open approach. Creative Education, 4(8), 19–24. https://doi.org/10.4236/ce.2013.48A005
24. Obersteiner, A., Van Dooren, W., Van Hoof, J., & Verschaffel, L. (2013). The natural number bias and magnitude representation in fraction comparison by expert mathematicians. Learning and Instruction, 28, 64-72. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2013.05.003
25. Önal, H., & Yorulmaz, A. (2017). İlkokul dördüncü sınıf öğrencilerinin kesirler konusunda yaptıkları hatalar. Eğitim ve Toplum Araştırmaları Dergisi, 4(1), 98-113.
26. Özaltun, S., Danacı, D., & Orbay, K. (2020). Altıncı sınıf öğrencilerinin kesirler konusundaki kavram yanılgılarını belirleme testi ve bir uygulaması. International Journal of Field Education, 6(1), 175-200. https://doi.org/10.32570/ijofe.684802
27. Özçakır Sümen, Ö. (2022). Dördüncü sınıf öğrencilerinin kesirler konusuna ilişkin zihinsel yapılarının incelenmesi. E-Kafkas Journal of Educational Research, 9(1), 1-19. https://doi.org/10.30900/kafkasegt.948020
28. Özer, A., (2020). Ortaokul 6. sınıf kesirler konusunun görselleştirme ile öğretiminin akademik başarıya etkisinin incelenmesi (Tez No. 616475) [Yüksek lisans tezi, Kırıkkale Üniversitesi -Kırıkkale]. Yükseköğretim Kurulu Başkanlığı Tez Merkezi.
29. Pesen, C. (2008). Kesirlerin sayı doğrusu üzerindeki gösteriminde öğrencilerin öğrenme güçlükleri ve kavram yanılgıları. İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 9(15), 157-168.
30. Resnick, I., Jordan, N. C., Hansen, N., Rajan, V., Rodrigues, J., Siegler, R. S., & Fuchs, L. S. (2016). Developmental growth trajectories in understanding of fraction magnitude from fourth through sixth grade. Developmental Psychology, 52(5), 746–757. https://doi.org/10.1037/dev0000102
31. Rodrigues, J., Jordan, N. C., & Hansen, N. (2019). Identifying fraction measures as screeners of mathematics risk status. Journal of Learning Disabilities, 52(6), 480-497. https://doi.org/10.1177/0022219419879684
32. Saxe, G. B., Shaughnessy, M. M., Shannon, A., Langer-Osuna, J. M., Chinn, R., & Gearhart, M. (2007). Learning about fractions as points on a number line. The Learning of Mathematics, 53, 221-237.
33. Siegler, R. S., & Lortie-Forgues, H. (2015). Conceptual knowledge of fraction arithmetic. Journal of Educational Psychology, 107(3), 909–918. https://doi.org/10.1037/edu0000025
34. Siegler, R. S., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., . . . Wray, J. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade: A practice guide (NCEE 2010-4039). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance. https://ies.ed.gov/ncee/wwc/docs/practiceguide/fractions_pg_093010.pdf
35. Şen, C. (2021). Bir ortaokul matematik öğretmeninin 5. sınıf kesirler konusunu öğretme bilgisinin değerlendirilmesi. Türk Bilgisayar ve Matematik Eğitimi Dergisi (TURCOMAT), 12(1), 96-138.
36. Tabak, H., Ahi, B., Bozdemir, H., & Sarı, M. H. (2010). İlköğretim 4. ve 5. sınıf öğrencilerinin matematik dersinde kesirleri modelleme becerileri. Education Sciences, 5(4), 1513-1522.
37. Tunç Pekkan, Z. (2015). An analysis of elementary school children’s fractional knowledge depicted with circle, rectangle, and number line representations. Educational Studies in Mathematics, 89, 419-441. https://doi.org/10.1007/s10649-015-9606-2
38. Van de Walle, J. A., Bay-Williams, J. M., Karp, K. S., & Lovin, L. H. (2014). Teaching student-centered mathematics. Pearson.
39. Van Hoof, J., Verschaffel, L., & Van Dooren, W. (2015). Inappropriately applying natural number properties in rational number tasks: Characterizing the development of the natural number bias through primary and secondary education. Educational Studies in Mathematics, 90, 39-56.
40. Yanık, H. B., & Bağdat, O. (2016, May 19-22). Middle school students’ use of representations for proper fractions. Proceeding Book of International Conference on Education in Mathematics, Science & Technology (ICEMST), Bodrum, Türkiye: 1106-1111.
41. Yazgan, Y. (2007). 10-11 yaş grubundaki öğrencilerin kesirleri kavramaları üzerine deneysel bir çalışma (Tez No. 220989) [Doktora tezi, Uludağ Üniversitesi-Bursa]. Yükseköğretim Kurulu Başkanlığı Tez Merkezi.
42. Yetim, S., & Alkan, R. (2010). İlköğretim 7. sınıf öğrencilerinin rasyonel sayılar ve bu sayıların sayı doğrusundaki gösterimleri konusundaki yaygın yanlışlıkları ve kavram yanılgıları. Kırgızistan- Türkiye Manas Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi, 2(11), 87-109.
43. Yıldırım, A., & Şimşek, H. (2018). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri. Seçkin Yayıncılık.
44. Yılmaz, R. (2014). Altıncı sınıf öğrencilerinin kesirler konusunu kavrayışları üzerine deneysel bir çalışma (Tez No. 372222) [Yüksek lisans tezi, Uludağ Üniversitesi-Bursa]. Yükseköğretim Kurulu Başkanlığı Tez Merkezi.