The influence of the Samarkand school of astronomy and mathematics on the Ottomans: Ulugh Beg’s approximate method of calculating sinus 1°

Year 2013, Volume: 15 Issue: 1, 48 - 66, 01.12.2013

Atilla Bir Mustafa Kaçar

Abstract

In his Zij, Ulugh Beg (1393-1449) pointed to the importance of
calculating the exact value of sin 1q which is needed for the calculation of the
sine and tangent tables. He says that nobody before him has given its exact
value and that he has written a treatise accounting for his calculation of sinus 1q
and the above mentioned tables. The work Ulugh Beg referred is the Treatise
for determining the sine of 1q by Ghiyāth al-Dīn al-Kāshī’s method.

In the present article, we investigate how Ulugh Beg derived sin 1q and
compared his result with the one given by Ptolemeus. Ulugh Beg derived sin 1q
value from the geometrically known cords of the (1 1/16)q, (1 + 2/16)q and (1
4/16)q = 45′ angles. The approximate value he calculated is sin 1q # 1P 2′ 49″
43(3) 13(4) 5(5) 30(6) # 0,0174524 } expressed in sexagesimal system. This value
is much better than the Ptolemeus’ value, who used two times the half formulas
for sin 3q and then took the average value of sin (3/2)q = 0,01745130 and sin
(3/4)q = 0,01745279. Far in advance of his time, the recursive method used by
Kadızade gave in few steps the exact value for sin 1q, a method which can be
evaluated as a very modern approach. 

Keywords

Ulugh Beg, zij, sinus 1°, astronomical tables, geometrical method, angle trisection

Semerkand Astronomi ve Matematik Ekolünün Osmanlı’ya Etkisi: Uluğ Bey’in Sinüs 1°yi Yaklaşık Belirleme Yöntemi

Abstract

Uluğ Bey (1393-1449), Zic’inde, sinüs ve gölge (tanjant) cetvellerinin
bulunuşunu sinüs 1qnin bulunuşuna dayandırır ve kendi dönemine kadar
kimsenin sin 1qnin tam değerini vermeyi başaramadığını ifade eder. Ayrıca çok
önemli bulduğu sinüs değerini çok hassas bir şekilde nasıl belirlediğini ve söz
konusu çizelgeyi nasıl oluşturduğunu başka bir eserinde anlattığını söyler. Bu
eser kütüphanelerimizde yazmaları mevcut olan Uluğ Bey’in 1qnin sinüsünü elKâşî’nin
yöntemiyle belirleme risalesi’dir.
Bu çalışmamızda, Uluğ Bey’in sin 1qyi nasıl elde ettiği konusu
araştırılmış ve verdiği değer, daha önce Ptolemeus’un (Batlamyus) verdiği
değerle karşılaştırılmıştır. Uluğ Bey sin 1q’yi, bilinen yaylardan geometrik
yöntemlerle elde ettiği (1 1/16)q, (1 + 2/16)q ve (1 4/16)q = 45′ açılarına
ilişkin yaylardan yaklaşık türetir. Altmış tabanlı sayı sisteminde sin 1q # 1P 2′
49″ 43(3) 13(4) 5(5) 30(6) # 0,0174524 } yaklaşık değerini bulur. Bu değer Batlamyus’un 3q’nin sinüsünü bulduktan sonra yarı formüllerden yararlanarak
elde ettiği sin (3/2)q = 0,01745130 ve sin (3/4)q = 0,01745279 değerlerinin
ortalamasından çok daha doğrudur. Buna karşın aynı dönemde geliştirilen
Kadızade’nin özyinelemeli yöntemi, birkaç adımda sin 1q için, öngörülen
doğruluğa ulaştığı için çağının ötesinde modern bir yaklaşım sergiler.

Keywords

Uluğ Bey, zic, sinüs 1°, geometrik yöntem, bir açının üçe bölünmesi

References

• -