Türetim ile Z_(2^s )+uZ_(2^s ) Halkası Üzerinde Aykırı Devirli Kodlar

Abstract

Kodlama teorisinde, lineer kodların özel bir sınıfı olan devirli kodlar ile ilgili araştırmalar büyük ilgi görmektedir. Bu ilginin en önemli nedenlerinden bazıları devirli kodların zengin cebirsel özelliklere sahip olmaları, birçok uygulama alanlarının bulunması, kodlama ve kod çözmede kolaylık sağlamaları olarak sayılabilir. Devirli kodların sabit-devirli, parçalı devirli ve yarı burmalı devirli kodlar
gibi genellemeleri bulunmaktadır. Bu genellemelerin çoğunda değişmeli yapılar üzerinde çalışılmıştır. Son zamanlarda devirli kodların değişmeli olmayan halkalardaki üreteç polinomları kullanılarak bir başka genellemesi (aykırı devirli kodlar) tanımlanmıştır. Aykırı polinom halkalarının cebirsel özellikleri nedeniyle aykırı devirli kodlar optimal kod bulma açısından devirli kodlara göre daha avantajlıdır. Bu çalışmada u2=1 olmak üzere ℤ4+uℤ4 halkası üzerinde tanımlı aykırı devirli kodlar için elde edilmiş bazı sonuçların s≥2 için S=ℤ2s+uℤ2s halkası için genellemesi yapılmıştır. θ, S üzerinde bir otomorfizm ve δθ, S üzerinde bir türetim olmak üzere S[x,θ,δθ ] aykırı polinom halkaları kullanılarak, δθ-devirli kodlar tanımlanmıştır. S[x,θ,δθ ] daki herhangi bir elemanın merkez eleman olabilmesi için gerek ve yeter koşul verilmiştir. δθ dönüşümü ile S halkasının tüm elemanlarının görüntüleri elde edilmiş ve tanımlanan Gray dönüşümü ile S halkasının elemanları için Gray ağırlığı ile S nin θ tarafından sabit bırakılan alt halkası Sθ tanımlanmıştır. Ayrıca bu kodların üreteç ve kontrol matrislerinin formu belirlenmiş ve özellikle s=4 için bazı örnekler verilmiştir. 

Keywords

• Aykırı devirli kod
• aykırı polinom halkası
• devirli kod
• Gray dönüşümü
• türetim

Skew Cyclic Codes over The Ring Z_(2^s )+uZ_(2^s ) with Derivation

Abstract

In coding theory, researches on cyclic codes, which are special class of linear codes, have attracted great attention. Some of the most important reasons for this interest are that cyclic codes have
rich algebraic properties, have many application areas, and provide convenience in coding and decoding. There are may generalizations of cyclic codes such as consta-cyclic codes, quasi-cyclic codes and quasi-twisted codes. In most of these generalizations, cyclic codes have been studied in commutative settings. Recently, another generalization of cyclic codes, skew cyclic codes, has been defined by using generator polynomials in non commutative polynomial rings. Since skew polynomial rings have algebraic properties, skew cyclic codes have more advantages than the cyclic codes for finding optimal codes. In this study, some results which are obtained for the skew cyclic codes defined over the ring ℤ4 +uℤ4 with u2 =1 are generalized for the ring S=ℤ2s+uℤ2s, where u2 =1, s≥2. Using the skew polynomial rings S[x,θ,δθ] where θ is an automorphism on S and δθ is a derivation on S, δθ-cyclic codes are defined. Necessary and sufficient conditions are given for any element in S[x,θ,δθ ] to be the central element. The image of all elements of the ring S are obtained with the mapping δθ and the Gray weight is defined for the elements of the ring S with the defined Gray map. The subring Sθ of S fixed by θ is defined. Also, generator and parity-check matrisces of these codes are determined and given some examples especially for the case s=4. 

Keywords

• Ccyclic code
• derivation
• Gray map
• skew cyclic code
• skew polynomial ring

References

1. Boucher, D., Geiselmann, W. and Ulmer, F. (2007). Skew Cyclic Codes. Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput., 18(4), 379-389.
2. Boucher, D. and Ulmer, F. (2009). Coding with Skew Polynomial Rings. J. Symbolic Computation, 44, 1644‐1656.
3. Carlet, C.( 1998). Z_(2^k ) linear codes. IEEE Trans. Inf. Theory, 44, 1543–1547.
4. Cengellenmis, Y. ( 2010). On the Cyclic Codes over F_3+〖vF〗_3. Int. J. Algebra, 4(6), 253-259.
5. Çalışkan, B. (2020a). Cylic Codes over the Ring Z_8+uZ_8+vZ_8. ICMASE 2020, Proceedings Book, Ankara Hacı Bayram Veli University, Ankara, Turkey, 7-12.
6. Çalışkan. B. (2020b). Linear Codes over the Ring Z_8+uZ_8+vZ_8. ICOMAA-2020, CPOST, 3(1), 19-23.
7. Dertli, A. and Cengellenmis, Y. (2019). On the Codes Over the Ring Z_4+uZ_4+vZ_4 Cyclic, Constacyclic, Quasi-Cyclic Codes, Their Skew Codes, Cyclic DNA and Skew Cyclic DNA Codes. Prespacetime Journal, 10(2), 196-213.
8. Dougherty, S.T. and Fernández-Córdoba, C. (2011). Codes over Z_(2^k ), gray map and self-dual codes. Adv. Math. Commun., 5, 571-588.

9. Hammons, A.R. , Kumar, P.V. , Calderbank, A.R., Sloane, N.J.A. and Solé, P. (1994). The ‐linearity of Kerdock, Preparata, Goethals, and Related Codes,” IEEE Trans. Inf. Theory, 40, 301‐319.
10. Sharma, A. and Bhaintwal, M. (2017). A class of skew-constacyclic codes over Z_4+uZ_4 with derivation,” IJICoT, 4(4), 289-303.