Geometrik Konstrüksiyonlar için Ters Kinematik Çözümü

Abstract

Bu makale, pergel ve cetvel ile yapılan geometrik çizimler için yinelemeli (iteratif) bir yaklaşım sunmaktadır. Çalışma, Andreas Aristidou ve Joan Lasenby tarafından geliştirilen İleri ve Geri Ulaşan Ters Kinematiği'ne (FABRIK) dayanmaktadır. FABRIK, çoğunlukla karakter animasyonu ve robot programlama gibi alanlarda kullanılan, hızlı ve güvenilir bir kinematik çözümüdür. Bu çalışmada, yeni disiplinlerarası araştırma konularını ortaya çıkarmayı amaçlayarak FABRIK çözümünü pergel ve cetvel çizimine uyarlamaya çalıştık. Kısa bir tarihsel ve kuramsal altyapının ardından, FABRIK yöntemi Geometrografi notasyonuyla açıklanmaktadır. Bu makalede gerçekleştirilen perge ve cetvel inşaları için, bir bilgisayar destekli tasarım yazılımı olan Rhinoceros içinde çalışmak üzere bir Python aracı geliştirilmiştir. Önerilen algoritmayı test etmek için bu araç kullanılmıştır. Test, pergel ve cetvel ile çizilmesi imkânsız olan düzgün yedigenin yaklaşık olarak inşasını gerçekleştirmektedir. Elde edilen sonuçlar yaklaşma miktarının bilinen diğer yöntemlere yakın olduğunu göstermiştir. Bu konu mimari robotikten mimari geometriye ve eğitime kadar farklı ölçekleri aşmakta ve uzak disiplinleri birleştirmektedir. Bu makale, uygulamalı geometrinin farklı alanları arasında matematiksel temellerine dayanarak kavramsal bir köprü kurmayı amaçlamaktadır. Hesaplamalı geometri ve robotiğin sentetik çözümleri, sonuçlarını soyut pergel ve cetvel çizimlerine dönüştürerek Geometrografi'nin araştırma yöntemlerinden yararlanabilir. Bu çalışmanın açtığı yöntemden hareketle, bu alanda gelecekte yapılabilecek araştırmalar bulunmaktadır. Bunlardan biri mimari robotik araştırmaları ve eğitimidir. Ayrıca, düzgün yedigenin katlanmasıyla ilgili test çalışması daha da genişletilebilir ve genellenebilir.

Keywords

• Geometrografi
• Ters kinematik
• Mimari robotik
• Öklid geometrisi
• Pergel-cetvel inşaları

Inverse Kinematics Solution for Geometric Constructions

Abstract

This paper presents an iterative approach for geometric constructions with a compass and straightedge. It is based on Forward and Backward Reaching Inverse Kinematics (FABRIK) developed by Andreas Aristidou and Joan Lasenby. FABRIK is a fast and reliable kinematic solution mostly used in fields such as character animation and robot programming. In this study, we attempt to translate the FABRIK solution into a compass-and-straightedge construction, aiming to reveal new interdisciplinary research topics. After a brief historical and theoretical background, the methodology of FABRIK is explained with the notation of Geometrography. A Python tool was developed to run within the computer-aided design software Rhinoceros. Finally, this tool was used to test the proposed algorithm. The test approximates the construction of a regular heptagon, which is impossible to construct with a compass and straightedge. From architectural robotics to architectural geometry and education, this topic spans scales and joins disciplines. This paper aimed to establish a conceptual bridge between distinct fields of applied geometry, based on their mathematical foundations. The synthetic solutions of computational geometry and robotics can merge with the research path of Geometrography by translating their results into abstract compass-and-straightedge constructions. There are several future research topics in this field. One of them is the research and education of architectural robotics. Moreover, the folding of the regular heptagon can be further extended.

Keywords

• Geometrography
• Inverse kinematics
• Architectural robotics
• Euclidean geometry
• Compass-straightedge constructions

References

1. Aristidou, A., & Lasenby, J. (2011). FABRIK: A fast, iterative solver for the inverse kinematics problem. Graphical Models, 73(5), 243–260. https://doi.org/10.1016/j.gmod.2011.05.003
2. Aristidou, A., Chrysanthou, Y., & Lasenby, J. (2016). Extending FABRIK with model constraints. Computer Animation and Virtual Worlds, 27(1), 35–57. https://doi.org/10.1002/cav.1630
3. DeTemple, D. W. (1991). Carlyle circles and the Lemoine simplicity of polygon constructions. The American Mathematical Monthly, 98(2), 97–108. https://doi.org/10.1080/00029890.1991.11995711
4. Lemoine, É. (1903). La géométrographie ou l'art des constructions géométriques. Scientia.
5. Paul, R. P. (1981). Robot manipulators: Mathematics, programming, and control. MIT Press.
6. Poddighe, R., & Roos, N. (2013). A NAO robot playing tic-tac-toe: Comparing alternative methods for inverse kinematics. In Proceedings of the 25th Benelux Conference on Artificial Intelligence (BNAIC) (pp. 144-151).
7. Trigg, C. W. (1967). Unorthodox ways to trisect a line segment. In W. L. Schaaf (Ed.), Geometric constructions (pp. 37–41).