Yüksek Çözünürlüklü Şemalar Kullanılarak Kütle-Yay-Damper Sisteminin Sayısal Simülasyonları

Abstract

Kütle-yay-sönüm sistemi için sayısal çözümlerin zaman adımı aralıklarını en aza indirmek sayısal hataları azaltmak için bir tekniktir, ancak toplam hesaplama süresini önemli ölçüde artırır. Birinci dereceden doğruluktaki teknikler yerine birinci ve ikinci türevler için yüksek çözünürlüklü şemalar kullanmak, sayısal hataları azaltmanın başka bir yoludur. Merkezi fark yaklaşımı, birinci ve ikinci türevleri tahmin edebilen ikinci dereceden doğruluktaki bir şemadır. Bununla birlikte, birinci türevi tahmin etmek için merkezi fark tekniğini kullanmak, mevcut zaman adımı verilerini içermez. Birinci türevin yaklaşıklığı ise çoğunlukla mevcut zaman adımı verilerine dayanmaktadır. Birinci türevi tahmin etmek için mevcut zaman adımı verileri göz ardı edildiğinde, özellikle keskin dış kuvvet kullanımı gibi bazı önemli noktalarda önemli sayısal yanlışlıklar ortaya çıkmaktadır. Birinci türevin yaklaşıklığını üçüncü derece çözümleme şeması ile hesaplanırken, yalnızca sonraki ve önceki zaman adımı değerlerini değil, aynı zamanda mevcut ve iki önceki zaman adımı verileri de kullanılır. Birinci ve ikinci türevleri yaklaşık olarak hesaplamak için, bu makale ikinci dereceden çözümleme şeması ve üçüncü dereceden doğruluktaki yöntemin bir kombinasyonunu sunmaktadır. Önerilen teknik, yakınsama sırası açısından önceki yöntemlerden daha yüksek doğruluktadır.

Keywords

• Yüksek Çözünürlüklü Şemalar
• Sonlu Farklar Yöntemi
• Kütle-Yay-Damper Sistemi

Numerical Simulations of the Mass-Spring-Damper System using High Resolution Schemes

Abstract

Minimizing time step intervals of numerical solutions for mass-spring-damper system is one technique to reduce numerical errors, but it considerably increases the total computation cost. Using high resolution schemes for first and second derivatives rather than the first order accurate techniques is another way to reduce numerical errors. The central difference approach is a second-order accurate scheme that can approximate first and second derivatives. Nevertheless, utilizing the central difference technique to approximate the first derivative does not contain current time step data. Approximation of the first derivative, on the other hand, should be based mostly on current time step data. When the current time step data are ignored to estimate the first derivative, considerable numerical inaccuracies arise, especially for some important points such as the usage of sharp external force. Approximation of the first derivative, the third order resolution scheme uses not only the next and previous time step values, but also the current and two prior time step data. To approximate the first and second derivatives, this paper presents combination of second order resolution scheme and third order accurate method. The proposed technique is more accurate than previous methods in terms of order of convergence.

Keywords

• High Resolution Schemes
• Finite Difference Technique
• Mass-Spring-Damper System

References

1. Ertekin, T., Abou-Kassem, J. H., & King, G. R. (2001). Basic applied reservoir simulation (Vol. 7). Richardson, TX: Society of Petroleum Engineers.
2. Esfandiari, R. S. (2017). Numerical methods for engineers and scientists using MATLAB®. Crc Press.
3. Leonard, B. P. (1994). Comparison of truncation error of finite-difference and finite-volume formulations of convection terms. Applied mathematical modelling, 18(1), 46-50.
4. Mazumder, S. (2015). Numerical methods for partial differential equations: finite difference and finite volume methods. Academic Press.
5. Peaceman, D. W. (2000). Fundamentals of numerical reservoir simulation. Elsevier.
6. Peng, Y., Liu, C., & Shi, L. (2013, August). Soution of Convection-Diffusion Equations. In International Conference on Information Computing and Applications (pp. 546-555). Springer, Berlin, Heidelberg.
7. Schwendt, M., & Pötz, W. (2020). Transparent boundary conditions for higher-order finite-difference schemes of the Schrödinger equation in (1+ 1) D. Computer Physics Communications, 250, 107048.
8. Wolcott, D. S., Kazemi, H., & Dean, R. H. (1996, October). A practical method for minimizing the grid orientation effect in reservoir simulation. In SPE annual technical conference and exhibition. OnePetro.

9. Wu, J. S. (2013). Analytical and numerical methods for vibration analyses. John Wiley & Sons.