Comparison Of Some Variance Component Estimation Methods With Respect to Type I Eror Rate

Abstract

In this study; Variance components and probability of Type I Error were estimated by Analysis of Variance (ANOVA), Maximum Likelihood (ML) and Restricted Maximum Likelihood (REML) when the assumptions of analysis of variance were violated. For this purpose, random numbers from equal and not equal variances Z (0,1), t (10), (3) 2 χ , β(5,2) distributions with the various sample sizes (n=5, 10, 20, 30, 40, 50) and group numbers (k=3, 4, 10) were generated by simulation technique. Depending on the findings of this study with 100000 simulation, it is concluded that probability of type I error ( ) estimated by ANOVA and ML was not protected in small sample sizes (n=5, 10) even if assumption of analysis of variance were met. Whenever variance components were estimated by RE ML, probability of type I error protected as %5. All methods (ANOVA, ML, REML) were affected when homogeneity was violated at this affect shows clearly by measured heterogeneity. When the group number (k=4,10) increased thatwas affect to change probability of type I error.

Keywords

• Analysis of Variance
• Variance Components
• Probability of Type I Error
• Simulation

Varyans Analizi Tekniğinin Ön Şartları Yerine Gelmediğinde Varyans Unsurları Tahmininde I. Tip Hata

Abstract

Bu çalışmada, tek yönlü varyans analizinde normallik ve varyansların homojenliği ön şartlarının yerine gelmediği durumlarda bazı varyans bileşenleri tahmin yöntemleri (Varyans Analizi (ANOVA), En İyi Olabilirlik (ML), Kısıtlanmış En İyi Olabilirlik(REML)) I.tip hata olasılıkları bakımından karşılaştırılmıştır. Bu amaçl a, simülasyon tekniği ile varyansları homojen ve homojen olmayan Z (0,1), t (10), (3) 2 χ , β(5,2) dağılımlarından n=5, 10, 20, 30, 40, 50 gözlem içeren k=3, 4 ve 10 grup için tesadüf sayıları üretilmiştir. Yapılan 100000 simülasyon denemesi sonucunda; özellikle küçük hacimli örneklerle çalışılması durumunda; normallik ve varyansların homojenliği ön şartlarının sağlandığı koşullarda bile varyans unsurlarının ANOVA ve ML ile tahmin edilmesi durumunda kararlaştırılan I.tip hata olasılığının deneme sonunda korunamadığı görülmüştür. Varyans unsurlarının REML yönteminden yararlanılarak tahmini ise kararlaştırılan I.tip hata olasılığının %5 seviyesinde korunmasını sağlamıştır. Diğer taraftan her üç tahmin yönteminin de özellikle varyansların homojen olmamasından etkilendiği ve bu olumsuz etkinin varyansların heterojenlik derecesinin artmasına paralel olarak daha da belirginleştiği görülmüştür. Ayrıca grup sayısının (k= 4, 10) artması da kararlaştırılan I.tip hata olasılığının %5 seviye sinde korunamamasına neden olmuştur.

Keywords

• Varyans Analizi
• Varyans Unsurları
• I.Tip Hata Olasılığı
• Simülasyon

References

1. Anonim (1994). FORTRAN Subroutines for Mathematical Applications. IMSL MATH/LIBRARY. Vol.1-2, Houston: Visual Numerics, Inc.
2. Bradly J.C., (1978). Robustress Britt Math Stat Psy. s 31
3. Cochran W.G. (1954). Some Methods Strengthening the Common  Tests. Biometrics, 10, 417.
4. Tests. Biometrics, 10, 417.
5. Corbeil R. R. ve Searle. S. R., (1976). Restricted Maximum Likelihood (REML) Estimation Variance Components in The Mixed Model. Teknometrics. 18; 31-38.
6. Baylan P., (2006). Varyans Bileşenleri İçin Nokta Kestirimlerinin Elde Edilmesinde Kullanılan Yöntemlerin Karşılaştırılması. Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yüksek Lisans Tezi.
7. Graser H. U., Smith. S. P., Tier. B., (1986). A Derivative -Free Approach for Estimating Variance Components in Animal Models by Restricted Maximum Likelihood. J. Anim. Sci. 1362-1370
8. Henderson C. R., (1953). Estimation of Variance and Covariance Components. Biometrics. 9; 223–252.

9. Hartley. H. O. ve Rao. J. N. K., (1967). Maximum Likelihood Estimation for The Mixed Analysis of Variance Model. Biometrica 54; 99-108.
10. Harville D. A., (1977). Maximum Likelihood Approaches to Variance Component Estimation and to Related Problems. J. Am. Stat. Assoc. 72; 320-340.
11. Hocking R. R. ve Kutner M. H. (1975). Some Analytical and Numerical Comparisons of Estimators fort he Mixed A.O.V. Model. Biometrics 81, 19-27
12. Kaps M. ve Lamberson. W., (2004). Biostatistics for Animal Science. 445 p.. London.
13. Kesici T. ve Kocabaş Z., (2007).Biyoistatistik .Ankara Üniversitesi Eczacılık Fakültesi Biyoistatistik. Yayın No:94. sf: 159-161.
14. Mendeş M., (2002). Normal Dağılım ve Varyansların Homojenliği Ön Şartlarının Gerçekleşmediği Durumlarda Varyans Analizi Tekniği Yerine Kullanılabilecek Bazı Parametrik Alternatif Testlerin I.Tip Hata ve Testin Gücü Bakımından İrdelenmesi. Ankara Ünv. Fen Bil. Enst. Doktora Tezi. 278 s.
15. Orhan H., (1997). Varyans Unsurları Tahmin Yöntemlerinin Monte Carlo Çalışması ile Karşılaştırmalı Olarak İncelenmesi. Yüzüncü Yıl Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Doktora Tezi.
16. Özsoy. A. N., (2000). Bıldırcınlarda Vücut Ağırlığının Kalıtım Derecesinin Farklı Tekniklerle Hesaplanan Varyans Unsurlarından Tahmini. Gaziosmanpaşa Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yüksek Lisans Tezi.
17. Özkaynar B. H., (2001). Normal Olmayan Dağılımlarda Varyans Unsurlarının Tahmini ve Güven Aralığının Tespiti. Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Doktora Tezi.
18. Patterson H.D. ve R. Thompson (1974). Recovery of Inter-Blok Information When Block Sizes are Unequal. Biometrica, 58, 3, p. 545. Printed in Great Britain
19. Peng K. C., (1967). The Design and Analysis of Scientific Experiments. Addison-Wesley Publishing Company. 252 p. United States of America
20. Sahai H. ve Ageel M. I., (2000). The Analysis of Variance. Library of Congress Cataloging in Publication Data. ISBN: 0- 8176-4012. p:32.
21. Searle S. S., Casella. G., McCulloch C. E., (1992). Variance Components. A Wiley-Interscience Publication. 501 p.. United States of America.
22. Schaeffer L. R., (1986). Maximum Likelihood Estimation of Variance Components in Dairy Breeding Research. Journal of Dairy Science Vol.59, No.12
23. Swallow W. H., Monahan J. F., (1984). Monte Carlo Comparison of ANOVA. MIVQUE. REML. and ML Estimators of Variance Components. Tecnometrics. 26 (1); 47 –57.
24. Rasch, D., Masata, O. (2006). Methods of variance component estimation. Czech J. Anim. Sci., 51 (6): 227-235.
25. Zar, J.H., 1999. Biostatistical analysis. Prentice –Hall Inc. Simon and Schuster/A Viacom Company, p.663., New Jersey: USA.