Lorentz Metrik Uzayı Üzerine

Abstract

Bu çalışma, kompakt-olmayan 4-manifold üzerindeki tüm 𝐶² Lorentz metriklerinin kümesini ele almaktadır. Bu metrikler, manifoldun fiziksel uzay-zaman yapısını tanımlayan önemli öğelerdir. Manifold üzerindeki Lorentz metriklerinin kümesi, Whitney 𝐶² topolojisi ile verilmiştir. Bu topoloji, manifoldun üzerinde tanımlanan vektör alanları arasındaki kesitlerin topolojisini tanımlar. Bu tanım, Lorentz metriklerinin manifoldun topolojik özelliklerini yansıttığını ve analiz etmek istediğimiz uzay-zaman yapısının doğru bir çerçevesini sağladığını gösterir. Özellikle space-like manifoldların global özelliklerini ve tekillik teoremlerini tartışmak için önemli bir temel oluşturur. Space-like manifoldlar, uzay-zamanın fiziksel özelliklerini tanımlayan ve genel görelilik teorisinde önemli bir rol oynayan yapılar arasındadır. Bu çalışma, bu manifoldların genel özelliklerini incelemek ve tekillik teoremlerini daha derinlemesine anlamak için doğru bir çerçeve sunar. Sonuç olarak, Robertson-Walker büyük patlamasını Lorentz metrikleri ile ele alan açıklamalar sunulmaktadır. Bu açıklamalar, metrik tensörün yeterince küçük, sonlu 𝐶² pertürbasyonları altında kararlı olduklarını göstermektedir. Bunlar büyük patlamanın evrenin genel davranışını nasıl etkilediğini ve tekilliklerin nasıl oluştuğunu anlamak için önemli bir adımdır. Lorentz metrik uzaylarında yapılan analizler ve sonuçlar uzay-zaman yapısının daha iyi anlaşılmasına katkıda bulunur.

Keywords

• Lorentz Metrik
• Lorentz Metrik Uzayı
• Metrik

On the Lorentz Metric Space

Abstract

This study considers the set of all 𝐶² Lorentz metrics on the non-compact 4-manifold. These metrics are important elements that define the physical space-time structure of the manifold. The set of Lorentz metrics on the manifold, Whitney fine 𝐶² with the topology. This topology defines the topology of the sections between the vector fields defined on the manifold. This definition indicates that Lorentz metrics reflect the topological properties of the manifold and provide an accurate framework of the space-time structure we want to analyze. In particular, it provides an important basis for discussing the global properties and singularity theorems of space-like manifolds. Space-like manifolds are among the structures that describe the physical properties of space-time and play an important role in the general theory of relativity. This work provides an accurate framework for studying the general properties of these manifolds and for a deeper understanding of the singularity theorems. As a main conclusion, a theorem is presented which deals with the behavior of Lorentz metrics of the Robertson-Walker big bang (global infinite density singularity in the finite past). This theorem states that the metric tensor is sufficiently small, but otherwise random, finite 𝐶² It shows that it is stable under perturbations. This result is an important step towards understanding how the big bang affected the general behavior of the universe and how singularities were formed. It contributes to a better understanding of the space-time structure with analyzes and results in the space of Lorentz metrics.

Keywords

• Lorentz Metric
• Lorentz Metric Space
• Metric

References

1. [1] C.W. Misner, K.S. Thorne and J.A. Wheeler, “Gravitation”, New Jersey, USA: Princeton University Press, 2017.
2. [2] S. Hawking and G. Ellis, “The Large-Scale Structure of Space-Time”, Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1973.
3. [3] M. P. Hobson, G. P. Efstathiou, A. N. Lasenby, “General Relativity: An Introduction for Physicists”, Cambridge University Press, 2006.
4. [4] B. Schutz, “A First Course in General Relativity”, Cambridge UK: Cambridge University Press, 2022.
5. [5] S. Carroll, “Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity”, Cambridge, UK: University Press, 2019.
6. [6] D. E. Lerner, “The Space of Lorentz Metrics”, Commun. Math. Phys., vol. 32, pp. 19-38, 1973.
7. [7] C. Nash and S. Sen, “Topology and Geometry for Physicists”, Amsterdam, NL: Elsevier, 1988.
8. [8] G. L. Naber, “Topology, Geometry and Gauge Fields: Foundations”, Berlin, DE: Springer, 2012.

9. [9] J. M. Lee, “Introduction to Smooth Manifolds”, Berlin, DE: Springer, 2013.
10. [10] L. Godinho, J. Natário, “An Introduction to Riemannian Geometry: With Applications to Mechanics and Relativity”, Berlin, DE: Springer, 2014.
11. [11] P. J. E Peebles, “Physical Cosmology”, New Jersey, USA: Princeton University Press, 1971.
12. [12] R. Penrose, “Lectures in Mathematics and Physics”, New York, USA: W. A. Benjamin, 1968.
13. [13] R. P. Geroch, “Article in Relativity”, New York, USA: Plenum Press, 1970.
14. [14] N. Straumann, “General Relativity and Cosmology”, Berlin, DE: Springer, 2013.
15. [15] S. Helgason, “Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces”, Providence, USA: American Mathematical Society, 2001.
16. [16] A. Zee, “Quantum Field Theory in a Nutshell”, New Jersey, USA: Princeton University Press, 2010
17. [17] L. Ryder, “Introduction to General Relativity”, Cambridge, USA: Cambridge University Press 2009.
18. [18] M. Nakahara, “Geometry, Topology and Physics”, Boca Raton, Florida, USA: CRC Press, 2003.
19. [19] H. Sati and U. Schreiber, “Mathematical Foundations of Quantum Field Theory and Perturbative String Theory”, Providence, USA: American Mathematical Society, 2011